Diagonal-Sudoku/X-Sudoku Solver (2025)

Methoden zur Ausdünnung der Reste (Kandidatenlisten)

1. Zeilen-/Spalten-Test und Box-Test
   1. Zeilen-/Spalten-Test der Reste innerhalb einer Box (Block/Line Interaction, Pointing)
   2. Box-Test der Reste in einer Zeile oder Spalte (Line/Block Interaction, Claiming)
2. N-Tupel (Naked Pair, Hidden Pair, Naked Triple, Hidden Triple, Naked Quadruple, Hidden Quadruple)
3. Goldene Kette (Golden Chain, XY-Chain, Double Implication Chain) inkl. XYZ-Wing und WXYZ-Wing
   1. Goldene Kette (Golden Chain, XY-Chain, Double Implication Chain)
   2. XYZ-Wing
   3. WXYZ-Wing
4. Einzelzahl-Gitter (X-Wing, Swordfish, Jellyfish), Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain) und Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten
   1. Einzelzahl-Gitter (X-Wing, Swordfish, Jellyfish)
   2. Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain)
   3. Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten
5. Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles) und Ausschluss-Ketten (Unique Loops)
   1. Übersicht Ausschluss-Rechtecke
   2. Ausschluss-Rechtecke
   3. Quasi-Ausschluss-Rechtecke
   4. 6er-Ausschluss-Ketten
   5. 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten
   6. 8er-Ausschluss-Ketten
   7. 10er-, 12er-Ausschluss-Ketten
6. Widerspruchs-Ketten und -Netze
   1. Widerspruchs-, Folgerungs- und Alternativ-Ketten (Discontinuous und Continuous Nice Loops)
   2. Bowman's Bingo
7. Letzter Lösungsweg
8. Sehr einfache (leichte) und sehr schwierige (schwere) Standard-Sudokus

Prinzipen zur Lösung von Sudokus

Diagonal-Sudoku-Grundregel: Es müssen in jeder Zeile, in jeder Spalte, in jeder Box (3x3-Kästchen) und in jeder der beiden Diagonalen alle Zahlen von 1 bis 9 genau einmal vorkommen. Ein "richtiges" Sudoku sollte auf jeden Fall eindeutig gelöst werden können. Diagonal-Sudokus können auch weniger als 17 Ausgangszahlen haben, um lösbar zu sein - beobachtet wurden einige Sudokus mit 12 und 13 Ausgangszahlen; es ist nicht bekannt, ob es auch Diagonal-Sudokus weniger als 12 vorgegebenen Zahlen gibt. Diagonal-Sudokus werden oft auch X-Sudokus benannt wegen der X-Form der Diagonalen.

Prinzipiell sind alle Lösungsmethoden und Ausdünnmethoden wie bei den Standard-Sudokus benutzbar, im Allgemeinen aber erweitert auf den Bereich der Diagonalen (z.B. können N-Tupel, Goldene, Einzelzahl- oder Widerspruchs-Ketten auch über Diagonalen verbunden sein). Es gibt aber geringe Unterschiede: Z.B. sind analog den Zeilen-/Spalten- und Box-Tests auch Diagonalen-Tests möglich, und bei den Ausschluss-Ketten dürfen die betrachteten Zellen nicht in den Diagonalen liegen.

Eine große Zahl der hier bekannten Standard-Sudokus (bisher über 120000 von etwa 1500000 Sudokus - 55000 weitere haben genau 17 Ausgangszahlen und sind damit nicht reduzierbar) wurden mittels Reduzierung analysiert - d.h. es wurden bei jedem Sudoku alle daraus abgeleiteten Sudokus untersucht, denen eine der Ausgangszahlen weggenommen wurde; ist mindestens eines dieser reduzierten Sudokus lösbar, wurde das gleiche Verfahren auf eines dieser Sudokus angewandt, wodurch die Anzahl der notwendigen Ausgangszahlen immer mehr verkleinert wurde, bis kein lösbares Sudoku mehr erzeugt werden konnte (wobei natürlich extrem viele verschiedene Wege durchlaufen werden können). Etwa 12.5 % der untersuchten Sudokus konnten nicht reduziert (also verkleinert) werden, und es waren alle untersuchten Sudokus mit mehr als 33 Ausgangszahlen reduzierbar: Es wurde dabei bisher kein einziges Standard-Sudoku gefunden, das mehr Ausgangszahlen benötigt! Einzelheiten siehe auch unter "Notwendige Ausgangszahlen i.A. nur von 17 bis 31, extrem selten bis 40".

Beispiel eines der Sudokus mit 30 notwendigen Ausgangszahlen mit 6 Ausdünnschritten: 000002030200007500400360071078000005004000100100080090000821600002700004017046300

Beispiel eines der Sudokus mit 31 notwendigen Ausgangszahlen mit 19 Ausdünnschritten: 008201030200780000007006802901000000406079003070800609009600300000000004014030208

Beispiel eines der extrem wenigen Sudokus mit 32 notwendigen Ausgangszahlen mit 11 Ausdünnschritten: 027048060468301070300000000084100600210800009003000000800600590070000000600285730

Beispiel eines der bisher nur 4 Sudokus mit 33 notwendigen Ausgangszahlen mit 11 Ausdünnschritten: 020048060468301070300700000084100600216800009000000000830600590070000000609280730

Beispiel eines der beiden Sudokus mit 40 notwendigen Ausgangszahlen (siehe Mladen Dobrichev) mit 176 Punkten mit 13 Ausdünnschritten: 000000000012034567034506182001058206008600001020007050003705028080060700207083615

Es sind auch 34 oder mehr (und inzwischen bis 40) notwendige Ausgangszahlen in Standard-Sudokus möglich - aber es wurden hier bis jetzt bei mehr als 120000 Sudokus nur 15 Sudokus mit 30 notwendigen Ausgangszahlen und nur 2 mit 31 notwendigen Ausgangszahlen gefunden. Die Fragestellung der maximalen notwendigen Anzahl von Ausgangszahlen wurde bisher selten untersucht: Die meisten existierenden Sudokus haben unnötig viele Ausgangszahlen - meist unter der irrigen Ansicht, dass eine kleinere Anzahl ein schwierigeres Sudoku ergibt (ein typischer Irrtum bei allen Sudokus aus vielen Zeitungen und Zeitschriften): Etwa 81 % aller hier bekannten (etwa 57000) Sudokus mit 17 Ausgangszahlen sind einfach lösbar, während von den etwa 110000 Sudokus mit 25 Ausgangszahlen nur etwa 30 % einfach lösbar sind, sie also im Allgemeinen viel schwieriger sind! Außerdem weiß jeder Sudoku-Löser, dass man auch bei einem schwierigen Sudoku oft am Anfang sehr leicht mehrere Zahlen finden kann, ehe es wirklich schwierig wird. Näheres siehe auch unter "Zur Schwierigkeit/Bewertung eines Sudokus" und unter "Analyse der 49158 Sudokus von Gordon Royle mit 17 Ausgangszahlen".

Die gleichen Reduzierungs-Untersuchungen wie für Standard-Sudokus wurden auch für die hier bekannten etwa 31000 Diagonal-Sudokus und 21000 Farb-Sudokus gemacht. Bei den Diagonal-Sudokus scheint 12 die kleinste Ausgangsanzahl zu sein. Bei den Farb-Sudokus ist sogar 11 (!) die wahrscheinlich kleinste Ausgangsanzahl. Bei allen drei Sudoku-Typen (Standard-, Diagonal-, Farb-Sudoku) waren die Anzahlen der Ausgangszahlen der reduzierten Sudokus recht gut normalverteilt (typische Gaußsche Glockenkurve). Bei Standard-Sudokus lagen alle notwendigen Ausgangszahlen im Bereich 17 bis 30 mit dem Mittelwert 23.9 (woraus der obere Wert aus Symmetriegründen mit 30.8 nahe 31 liegt). Dabei kamen die Ausgangszahlen 23 bis 25 bei jeweils etwa 20 bis 32 % aller reduzierten Sudokus vor, und die Rand-Ausgangszahlen 17 bis 19 und 29 bis 31 lagen weit unter jeweils 1 % der Häufigkeit.Bei Diagonal-Sudokus lagen alle Ausgangszahlen der reduzierten Sudokus im (erstaunlich kleinen und schiefen) Bereich 12 bis 22 mit dem Mittelwert 17.9 - woraus man aus Symmetriegründen auch auf ein Diagonal-Sudoku mit maximal notweniger Ausgangszahl von 23 schließen könnte (es wurden aber nur 18 Sudokus mit 22 notwendigen Ausgangszahlen gefunden). Die Ausgangszahlen 17 bis 19 der reduzierten Diagonal-Sudokus bildeten hier jeweils etwa 23, 35 und 24 % aller Fälle, die Rand-Ausgangszahlen 12 bis 14 und 21 bis 22 lagen ebenfalls jeweils weit unter 1 %.Bei Farb-Sudokus im (erstaunlich großen und auch schiefen) Bereich 11 bis 27 war der Mittelwert 17.5, dabei hatten die Ausgangszahlen 17 und 18 jeweils etwa 30 bzw. 27 % Häufigkeit; die selten (0.25 %) auftretenden Ausgangszahlen 25 bis 27 fielen (trotz der weit unter 1 % liegenden Häufigkeit) aber doch etwas aus der Normalverteilung heraus.

Vorgehensweise: Die Zeilen und Spalten werden hier von oben links an mit 1 bis 9 durchnummeriert, die Boxen werden mit OL (oben links), OM (oben Mitte), OR (oben rechts), ML (Mitte links), MM (Mitte Mitte), ..., bis UR (unten rechts) bezeichnet. Die benutzten (direkten) Lösungsmethoden werden oft kurz mit mit A bis F bezeichnet, die zusätzliche Ziffer danach bezeichnet eine Untergruppe, dabei steht z.B. 1 für Zeile oder 3 für Box. Die Abarbeitung geht zeilenweise von links oben bis nach rechts unten und bei den Zahlen von 1 bis 9.Neu gefundene Zahlen werden mit ">zahl<" in der Tabelle in verschiedenen Farben (je nach Lösungstyp) ausgegeben. Beim Ausdünnen werden die streichbaren Zahlen mit "[zahl]" in blau dargestellt; die zu dieser Lösung benutzten Zahlen werden rot dargestellt und oft auch mit Indizes versehen.Wurden bei einem Sudoku die Ausschluss-Rechteck- bzw. Ausschluss-Ketten-Methoden oder die Trial&Error-Methode benutzt, sollte man die Eindeutigkeit der Lösung überprüfen ("Teste Lösbarkeit vom Original aus"). Ein extremes Beispiel ist das Sudoku 050070090400000008000020000003010800000000000009060100000080000200000009060050000.Dieses wird in etwa 0.4 Sekunden "gelöst", aber es hat in Wahrheit 14297616 Lösungen (in knapp 8 Stunden ermittelt)!!

Dieses Programm benutzt 6 Lösungsmethoden(-gruppen) mit verschiedener Punkte-Gewichtung, und ebenfalls 6 Gruppen von Analysemethoden(-gruppen) für die Ausdünnung (ebenfalls mit unterschiedlichen Punkten gewichtet). Die Lösungsmethoden zum Auffinden einer einsetzbaren Zahl und die Ausdünnmethoden zum Auffinden eines streichbaren Kandidaten können nicht-synchron oder synchron gerechnet werden. Bei der nicht-synchronen Rechnung wird nach dem ersten gefundenen Auffinden einer Zahl bzw. eines Kandidaten das Ergebnis (mit der geringsten Punktzahl bzw. der maximalen Zahl von Streichungen) ausgegeben, d.h. es hängt stark von der vorgegebenen Reihenfolge der Programmschritte ab, wobei natürlich versucht wurde, eine Reihenfolge zu finden, die der Vorgehensweise eines Menschen angepasst ist. Bei der synchronen Rechnung werden (im Allgemeinen bis zu mit einer Option ausgewählten Komplexität der Methoden) alle gleichzeitig gefundenen Ergebnisse dargestellt (ohne dass diese dabei schon Einfluss auf das Vorgehen haben), was den Vorteil hat, dass man alle Möglichkeiten auf einmal sieht (zur Überprüfung, ob man alle Fälle selbst auch gesehen hat) und auch erkennt, wie viele es davon gibt (wobei es bei sehr wenigen Treffern Extra-Punkte gibt); allerdings liegt die Punkte-Bewertung im synchronen Fall oft um einiges höher als im nicht-synchronen Fall, weil viele der gefundenen Lösungsschritte bzw. Ausdünnschritte eventuell gar nicht zur Bestimmung des Sudokus notwendig sind. Die Punkte-Bewertung ist also abhängig von der gewählten Lösungs-Strategie (siehe Dokumentation). Wurden im nicht-synchronen Fall eine oder mehrere Zahlen eingesetzt bzw. ein oder mehrere Kandidaten gestrichen bzw. wurden im synchronen Fall alle gefundenen Zahlen eingesetzt bzw. alle gefundenen Kandidaten gestrichen, beginnt die weitere Abarbeitung wieder mit der einfachsten Methode.

Bei der Lösung und der Bewertung wird davon ausgegangen, dass zuerst versucht wird, das Sudoku ohne Anschreiben der Kandidaten (Reste) zu lösen, da beim Arbeiten mit Hand dies zuerst einmal der natürliche Weg ist - im Gegensatz zu den sonst üblichen, im Internet zu findenden Sudoku-Solvern (z.B. HoDoKu, SudokuExplainer, Sudoku Solver by Andrew Stuart), die sofort alle möglichen Kandidaten für alle Zellen aufschreiben! Es kommen also zuerst nur die direkten Methoden A, B, C und D (C und D optional) zum Einsatz. Erst dann, wenn man damit nicht weiter kommt, werden für jede Zelle alle Zahlen aufgeschrieben, die dafür in Frage kommen: die Kandidaten, die hier als Ganzes oft Rest genannt und auch der Einfachheit halber als eine mehrstellige Zahl (ohne Komma oder andere Trennzeichen) geschrieben werden - und das ist per Hand einiges an Arbeit (dafür gibt es auch Extra-Punkte). Danach versucht man, diese Reste (Kandidatenlisten) so lange auszudünnen, also zu verkürzen, bis man zu einer eindeutigen Lösung für eine Zelle kommt (Lösungsmethoden E und F). Dieses Ausdünnen (Kandidaten-Reduzierung) wird hier mit den wichtigsten 6 Methoden versucht, die weiter unten erklärt werden.

Es gibt noch vielleicht 30 weitere Ausdünnmethoden (siehe z.B. http://www.sudokuwiki.org/sudoku.htm), die wenig zusätzliche Lösungen bringen (also bei weniger als 5-7 % der hier gespeicherten 1.5 Millionen Sudokus), aber im Allgemeinen ziemlich kompliziert sind (z.B. Long String Kite, 3D-Medusa, Finned Swordfish oder Aligned ALS Exclusion) bzw. nahe einem Trial&Error-Verfahren liegen (Almost Locked Sets Chain, Nishio Forcing Chain, Forcing Net). Nicht alle Sudokus können mit den hier programmierten (und wohl wichtigsten) Verfahren - die eigentlich auch gut verstehbar und erlernbar sind - gelöst werden, aber die hier nicht lösbaren Sudokus sind sowieso nur etwas für Spezialisten. Dieses Programm soll nicht ein Sudoku einfach lösen, sondern alle Lösungsschritte zum Nachvollziehen aufzeigen.

Interessant ist dabei, dass es manchmal Sudokus gibt, die zwar mit diesem Programm lösbar sind, aber bei der Trial&Error-Methode längere Rechenzeiten erfordern. Natürlich spielt dabei eine Rolle, in welcher Reihenfolge der Trial&Error-Test ausgeführt wird, aber das Prinzip gibt es immer. Beispiel:Nach 65919 Versuchen mit bis zu 27 Level in 770 sec mit Trial&Error gefunden, aber mit nur 27.5 Punkten in etwa 0.35 sec direkt gelöst: 000000000000001002003000040000000005002040006070008900000020030000050000710000600

Und umgekehrt gibt es Sudokus, die mit diesem Programm bisher nicht gelöst werden konnten, aber bei gerade 2 Versuchen per Trial&Error bestimmt werden, z.B.:Nach 2 Versuchen mit bis zu 1 Level in 0.1 sec mit Trial&Error gefunden, aber nach 1 sec, 8 Ausdünnschritten und bis dahin mit 188.5 Punkten (ohne Bowman's Bingo) endet, mit Bowman's Bingo nun aber bei 22 Ausdünnschritten und 486 Punkten gelöst wird: 090500030000030007000000406700209005580000300009000060000010003307060000000400900

Keinen einzigen Lösungsschritt findet das Programm ohne Bowman's Bingo im folgenden Beispiel, es kann aber bei gerade 4 Versuchen per Trial&Error bestimmt werden, z.B.:Nach 4 Versuchen mit bis zu 2 Level in 0.2 sec mit Trial&Error gefunden, aber nach knapp 1/2 sec mit diesem Programm (ohne Bowman's Bingo) ohne Ergebnis aufgegeben, aber mit 3 Bowman's Bingo-Schritten und 243 Punkten gelöst wird: 000000006009002070700010000040500003008030700200009010000060005060300900100000000

Ebenso gibt es Sudokus, die nur aufwändig mit Widerspruchs-Ketten gelöst werden können, aber bei gerade 2 Versuchen per Trial&Error bestimmt werden, z.B.:Nach 2 Versuchen mit bis zu 1 Level in 0.1 sec mit Trial&Error gefunden, aber in 1.5 sec mit 227.5 Punkten in 15 Ausdünnschritten mit 2 Widerspruchs-Ketten lösbar: 800009006000081000009204500572000400030000070004000328001403600000190000400800007

Und gibt es Sudokus, die sogar mit der (recht umständlich zu benutzenden) Super-Software von Andrew Stuart "SudokuWiki" nicht gelöst werden können ("Run out of known strategies", trotz 38 eingebauter Lösungsverfahren), z.B.:Nach 2 Versuchen mit bis zu 1 Level in 0.1 sec mit Trial&Error gefunden, aber nach knapp 1/2 sec mit diesem Programm (ohne Bowman's Bingo) ohne Ergebnis aufgegeben: 000000002008000700030009040000901000040030010005604000069100030007000500200000008, mit 1 Mal Trial&Error bis Tiefe 10 bei 820 Punkten nun aber gelöst werden kann.Bei diesem Sudoku werden aber mit der Java-Software "Sudoku Explainer" bei 22 Ausgangszahlen 126 Ausdünnschritte - darunter 54 Mal unterschiedliche Forcing Chains (Cell Forcing Chains, Contradiction Forcing Chains, Double Forcing Chains, Nishio Forcing Chains und Region Forcing Chains) - benötigt.Ähnlich schwierig und auch bei SudokuWiki nicht lösbar, bei "Sudoku Explainer" werden bei 23 Ausgangszahlen 129 Ausdünnschritte - darunter 55 Mal unterschiedliche Forcing Chains - benötigt: Das ist das bekannte "AI Escargot" des finnischen Mathematikers Arto Inkala: 100007090030020008009600500005300900010080002600004000300000010040000007007000300, mit 1 Mal Trial&Error hier aber mit 672 Punkten gelöst werden kann.

Bemerkungen zur Bewertung: Für jedes Sudoku wird am Ende die Summe aller Punkte jedes Einzelschrittes angegeben. Diese ist natürlich stark abhängig von der gewählten Option, da z.B. bei synchronen (und zum Teil auch bei halb-synchronen) Methoden viele Lösungsschritte (deren Punkte also mitgezählt werden) gemacht werden, die zur Lösungsfindung gar nicht notwendig gewesen wären. Daher wird nur bei der nicht-synchronen Methode zusätzlich eine textliche Bewertung (z.B. "Sehr einfach") ausgegeben. Ein Punktevergleich verschiedener Sudokus ist also nur bei gleicher Option sinnvoll, z.B. um zu sehen, welches Sudoku das Schwierigere ist. Das gleiche Sudoku mit verschiedenen Optionen zu rechnen, macht nur Sinn, wenn man z.B. sehen will, welche Schritte auch möglich gewesen wären (etwa bei synchronen Rechnungen).

Normalerweise gibt es in einem Sudoku in einem bestimmten Zustand mehrere Möglichkeiten, Zahlen zu finden bzw. Kandidaten auszudünnen. Aber es kommt auch vor, dass es nur 1 oder 2 oder 3 Möglichkeiten gibt: Das wird dann mit Extra-Punkten bewertet. Beispiele für sehr schwierige Sudokus mit vielen Extra-Punkten findet man am Ende dieser Seite unter Sehr schwierige Sudokus.Neben der Angabe der Summe aller erreichten Punkte gibt es auch die sehr aussagekräftige 2-Norm oder Euklidische Norm, d.h. die Wurzel aus der Quadratsumme aller Punkte (auch bei den Extra-Punkten), bei der die höheren Punktwerte stärker zur Geltung kommen - das ist nicht so extrem wie die auch angeführte Maximum- oder Tschebyscheff-Norm, also das Maximum der Punktwerte, wie sie z.B. bei SudokuExplainer benutzt wird. Ein Sudoku mit z.B. einem komplizierten Schritt mit 9 Punkten ist bestimmt schwieriger als ein Sudoku mit 3 einfachen Schritte mit jeweils 3 Punkten, obwohl in beiden Fällen die Gesamtpunktzahl 9 ist - aber die Euklidische Norm ist 3 bzw. 5.2. Umgekehrt ist ein Sudoku mit z.B. 5 komplizierten Schritten mit jeweils 16 Punkten auch bestimmt schwieriger als ein Sudoku mit nur einem komplizierten Schritt mit 16 Punkten - hier ist die Euklidische Norm 35.8 bzw. 16 (PS: Nicht-ganze Zahlen werden hier - entsprechend der englisch-amerikanischen Schreibweise - mit Punkt geschrieben).

Bemerkungen zum Paar-Begriff: Die Sudoku-Literatur ist da nicht ganz einheitlich. In diesem Programm wird als Paar eine Zelle mit zwei Kandidaten bezeichnet (eine Goldene Kette besteht z.B. aus der Verkettung von Paaren), eine Zelle mit drei Kandidaten wäre dann ein Trio usw.. Betrachtet man aber die Einheit von zwei verschiedenen Zellen, wird das hier als Doppel (2-Tupel) bezeichnet, bei drei Zellen ist das ein Tripel (3-Tupel) usw., auch wenn der Inhalt der Zellen ein Paar, Trio o.a. ist (es kann also ein Tripel sowohl aus Zellen mit Paaren als auch Trios bestehen).

Anpassung des Programms für Standard-Sudokus an Diagonal-Sudokus/X-Sudokus, bei denen die Zahlen von 1 bis 9 auch in den beiden Diagonalen nur genau einmal vorkommen dürfen (Juli 2014, Januar 2017, Juli 2023).

Bei der Programmierung der nicht-trivialen Diagonal-Sudoku-Erweiterungen wurden die Ideen vom Diagonal-Experten Ulrich R. aufgegriffen, dem hiermit auch herzlichen Dank gesagt werden soll.

Neu ist die Diagonal-Sudoku-Erweiterung "Diagonal-Zange", die vom Diagonal-Experten Holger Schrader, dem hiermit auch herzlichen Dank gesagt werden soll, gefunden wurde. Dabei wird der mittlere Kandidat (der auf einer Diagonalen liegt) gelöscht, wenn von dort aus innerhalb einer Zeile oder Spalte genau zwei Reste mit diesem Kandidaten gesehen werden; Abwandlung: Der Kandidat in der Sudoku-Mitte kann gestrichen werden, wenn in einer Zeile oder Spalte dieser Kandidat sowohl auf beiden Diagonalen als auch auf der unterhalb/neben der Sudoku-Mitte liegenden Spalte/Zeile liegt. - siehe unten stehendee Beispiele; Bewertung: 5 Punkte (Juli 2023).Holger Schrader hat auch noch eine Ausdünn-Methode gefunden, die sogar für alle Sudoku-Typen eingesetzt werden kann, die "Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten" - siehe unten stehendes Beispiel (August 2023).

Programmierte Erweiterungen für Diagonal-Sudokus/X-Sudokus:

Direkte Lösungsmethoden: Durchsuchen auch der Diagonalen

• A- und E-Methode "Einzige Position einer Zahl/Kandidaten": Neu: A5 und A6 bzw. E5 und E6
• B- und F-Methode "Einzig mögliche Zahl/Kandidat für eine Stelle": B0 bzw. F0 (wie bisher)
• C-Methode "Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test": Neu: C5 und C6
• D-Methode "Offensichtliche 2-Tupel (Doppel)": Neu: D5 und D6

Ausdünnmethoden: Neben dem Durchsuchen auch der Diagonalen bei allen Methoden außer bei Ausschluss-Ketten vier zusätzliche Sonderfälle (Diagonalen-Tests, 4-6 Punkte):

• Beispiel: Diagonal-Zange Typ 1: Kandidat in der mittleren Zelle kann gestrichen werden: 000000000000000000000040000300000002006070100504203907200831006000000000900000008
• Beispiel: Diagonal-Zange Typ 2: Kandidat in der Sudoku-Mitte kann gestrichen werden: 000000000000270000000010920050000263000100080086000040510800000007900100000450070
• Beispiel: Zahl x muss in den Diagonalen außerhalb der Mitte sein, da Zahl x nur in einer Zeile/Spalte in beiden Diagonalen; Beispiel in den Schritten (3) und (4): 000001700006300400190000030600103040000000000070504003010000058005009300003800000
• Beispiel: Zahl x kommt in Diagonale y genau zweimal vor, somit in gemeinsam sichtbaren Zellen der Diagonale z streichbar; Beispiel in den Schritten (1) und (2): 000000000097103850005704200010000020000000000080000030003905700071308960000000000

• Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 (Länge 3): 000000000000000000000001000000000100000000000020340000100000053600007000000008020
• Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 2XO (Länge 3): 060000080900000200000370000004000008000106000500000900000021000000000007030000040
• Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 (Länge 5): 000000000000000000000009045736800000001060000000000014090005000003100000002000500
• Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 2OOXO (Länge 5): 000000000000000000000009045736800000001060000000000014090005000003100000002000500
• Beispiel vieler Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten mit Typ 1 und Typ 2: 000090000007005090000008007040000001050000080700040003080030010006001250005000000
• Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 und gleichzeitig einer Einzelzahl-Kette (Länge 4) mit 2 weiteren Streichungen: 000000000001968004090000000605000000000080006000000002900000015000640000740000000
• Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 und gleichzeitig einer Einzelzahl-Kette (Länge 4) mit 5 weiteren Streichungen: 300040000000203040000000800900080000000109000004600007070008000000900080008060130

Ausschluss-Ketten-Ausnahme: Keine "benutzbare" Kette, wenn mindestens eine der Zellen auf einer Diagonalen liegt (ist bei Ausschluss-Rechtecken bei 336 von 486 möglichen Wegen - also sehr häufig - der Fall)PS: Es wurden viele Ausschluss-Rechtecke (10 %) und etwa 30 6er-Ausschluss-Ketten gefunden, aber auch Quasi-Ausschluss-Rechtecke und 1 Quasi-6er-Ausschluss-Schleife, jedoch bisher keine längeren Ketten.Beispiel mit Ausschluss-Rechteck Typ 2: 030901050058700100001200007000002000170090006000170000000000308000529070010000090Beispiel mit 6er-Ausschluss-Schleife Typ 1: 300008000600007300000010000068070003010000007400869000020050000090236000100000030

Hier einige Diagonal-Sudoku-Beispiele (von zur Zeit etwa 31300 kurzen - also mit 12 bis 27 Ausgangszahlen - Diagonal-Sudokus, von denen 55 % einfach sind, 35 % Ausdünnen erfordert und 10 % hier bisher nicht direkt, sondern nur mit den Methoden Bowman's Bingo oder Trial&Error lösbar sind):Ohne Ausdünnen mit 5 Punkten (bisher kleinste erreichte Punktzahl): 107050008000000002000006000000970000000028050000045060349060710070000000058097420Ohne Ausdünnen mit 15.5 Punkten (aus 19 Ausgangszahlen): 000000040500000000600713200004830000070900000000000000007001000000420050300000090Ohne Ausdünnen mit 28 Punkten (aus 17 Ausgangszahlen): 900000003000000000000100020050001000000005000073000000000600408004000005209300000Ohne Ausdünnen mit 42 Punkten (aus 14 Ausgangszahlen): 000000005300800000400200100000093000020000800000000000000050400009000000000000006Ohne Ausdünnen mit 54.5 Punkten (aus 15 Ausgangszahlen): 080000000000040000000002053000700000010000000000003020006000900000000804905000000Ohne Ausdünnen mit 73 Punkten (aus 20 Ausgangszahlen): 000004800420000000000062000040000005038000970100000080000350000000000043003600000Ohne Ausdünnen mit 106 Punkten (aus 16 Ausgangszahlen, bisher höchste erreichte Punktzahl): 006900010005000700000400000010300000000007000000000000080000000000020590130000600

Mit Ausdünnen mit 31 Punkten (bisher kleinste erreichte Punktzahl mit Ausdünnen) und 1 Diagonalen-Test: 000000017000025048000418069100500000000000020000680000700054600084000030003060104Mit Ausdünnen mit 210 Punkten, 5 Diagonalen-Tests und 4 N-Tupel: 000005060100397000000201040000008250000000000000000010000000000000000009000059004Mit Ausdünnen mit 391 Punkten, 2 Diagonalen-Tests und 7 Goldenen Ketten: 000700900400000000200009000000000500009025070001000320020000017005080060004207800Mit Ausdünnen mit 503 Punkten, 4 Diagonalen-Tests, 3 (W)XYZ-Wings und 3 Widerspruchs-Ketten: 000000090003000070500010020001700000000000000007002800100540000008000000000020046Mit Ausdünnen mit 549 Punkten, 7 Diagonalen-Tests, 2 Ausschluss-Ketten und 9 Widerspruchs-Ketten: 900004001000000000064921000002000800008000400006000530000817300000000000000300007Mit Ausdünnen mit 684 Punkten, 2 Diagonalen-Tests, 9 Einzelzahl-Ketten und 14 Widerspruchs-Ketten: 000000800000130900690000072006000400000000000009000300530000098004087000008000000Mit Ausdünnen mit 760 Punkten, 4 Diagonalen-Tests, 5 Goldenen Ketten und 14 Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: 800000300000004080063000010070003000000015090000000800104600000000790000000001009Mit Ausdünnen mit 847 Punkten, 4 Diagonalen-Tests, 9 Goldenen Ketten, 18 Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten und 15 Widerspruchs-Ketten: 060003574000600008000000003000020480000000000009000000000460701071059000080207000Mit Ausdünnen mit 922 Punkten (bisher höchste erreichte Punktzahl), 1 Diagonalen-Test, Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: 8 und 9 Bowman's Bingo: 001000000005000800000082000000824600004000009000000000000260000000010070060000210Mit Ausdünnen mit 951 Punkten (bisher höchste erreichte Punktzahl), 3 Diagonalen-Tests, Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: 18 und 23 Widerspruchs-Ketten: 100056009000030000008000002000000100004000000000000007007900008500000030600000400Nach 30 Ausdünn-Schritten (aus 22 Ausgangszahlen) hier mit Bowman's Bingo gelöst mit 419 Punkten: 000000000000000300000087001805060023190003000000945000400000000061090002000100050

Auch bei Diagonal-Sudokus gibt es Beispiele, die mit Ausschluss-Ketten zwar gelöst werden, aber gar nicht eindeutig lösbar sind:Mit Ausdünnen mit 52 Punkten, hat aber 5 Lösungen: 010000000002000304050092080008070000003000100000030600070000010804000900000000020

1. Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 13 Ausgangszahlen mit 35.5 Punkten (in etwa 0.15 sec!): 004000005000000000000080010300000000000060000005400000800000700100000020000000900

2. Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 13 Ausgangszahlen mit 283 Punkten (in etwa 0.3 sec!): 000800300007100060000000000000007000000050000100000000380000900000060000000000002

1. Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 12 Ausgangszahlen mit 183 Punkten (in etwa 0.15 sec!): 000000010000000200030000405000000000000000000000006000000070000602000080000340000

2. Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 12 Ausgangszahlen mit 201 Punkten (in etwa 0.3 sec!): 000000000000000000000000000000000000100000000000234500000000062070000001045008000

Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 12 Ausgangszahlen mit 287 Punkten: 000000000000000000000001000000000100000000000020340000100000053600007000000008020

===> Alle anderen weiter unten aufgeführten Beispiele und auch die Dokumentation sind aber nur die für Standard-Sudokus. <===

Tabelle der Punktevergaben

Programm-Neuigkeiten

• Kleinere Änderungen und Verbesserungen, insbesondere bei Bowman's Bingo und Trial&Error (Oktober 2024).
• Allgemeine kleinere Änderungen und Verbesserungen (Mai 2024).
• Neu-Programmierung der Bowman's Bingo-Methode, die nun nur als Ausdünnmethode benutzt wird, nicht als einfache Trial&Error-Methode; dabei auch Beschränkung auf maximal 24 Schritte (Dezember 2023).
• Verbesserte Definition und Neu-Programmierung der Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Damit konnte der Rechenaufwand um etwa 40 % gesenkt werden, die Gesamtrechenzeit eines Sudokus daher im Mittel um etwa 25 % reduziert werden. Es werden jetzt nur 2 Typen dieser Ketten unterschieden (November 2023).
• Erweiterung der Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Es können auch innerhalb einer Kette Zeilen/Spalten/Boxen mit mehr als 2 Kandidaten benutzt werden; dadurch konnten alle Sudokus, die wegen der Reduzierung der Kettenlängen nicht mehr gelöst werden konnten, wieder gelöst. Außerdem konnten mehr als 1000 Sudokus, die hier bisher nicht gelöst werden konnten, mit den erweiterten Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten gelöst werden. Das ist insgesamt für eine neue Ausdünn-Methode ein sehr erstaunliches Ergebnis; die bisherigen Einzelzahl-Ketten/-Gitter haben kaum noch eine Bedeutung (Oktober 2023).

  Häufigkeit der Ausdünn-Methoden bei Rechnung von 268640 Standard-Sudokus, bei Option 2001 inklusive der zusätzlich möglichen (damit insgesamt etwa 9707000) Lösungsschritte; dabei sind die 10 häufigsten Methoden mit insgesamt 96.9 % (!) vertreten:

  1. 22.0 % Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (Anteil der Erweiterten Ketten: Etwa 24 %)
  2. 18.3 % (Geschlossene) Goldene Kette
  3. 15.9 % Box-Test
  4. 11.6 % Zeilen-/Spalten-Test
  5. 8.5 % Einfache Widerspruchs-Kette
  6. 7.4 % 2-Tupel
  7. 6.4 % Ausschluss-Rechteck
  8. 3.4 % 3-Tupel
  9. 2.7 % XYZ-Wing/WXYZ-Wing/Erweiterter WXYZ-Wing
  10. 0.7 % Setzende Alternativ-Kette

  Fasst man zusammengehörenden Ausdünn-Methoden zusammen, ergibt sich für die 6 Methoden-Gruppen:

  1. 27.5 % Zeilen-/Spalten-/Box-Test
  2. 22.3 % Einzelzahl-Widerspruchs-Kette, Einzelzahl-Gitter und -Kette
  3. 21.0 % (Geschlossene) Goldene Kette und XYZ-/(Erweiterter) WXYZ-Wing
  4. 11.8 % 2- bis 5-Tupel/Versteckte 2- bis 7-Tupel
  5. 10.3 % Widerspruchs-/Alternativ-/Folgerungs-Kette
  6. 7.0 % (Quasi-)Ausschluss-Rechteck und Ausschluss-Schleife (Kette)
• Reduzierung der maximalen Kettenlänge von 14 auf 12; die Wirkung ist extrem klein: Von etwa 171200 Standard-Sudokus können nun 32 nicht ohne Bowman's Bingo gelöst werden (September 2023).
• Einführung der sehr erfolgreichen neuen (bisher unbekannten?) Methode "Einzelzahl-Widerspruchs-Kette" für alle Sudoku-Typen, die ebenfalls vom Diagonal-Experten Holger Schrader gefunden wurde. Dabei nimmt man entlang einer Quasi-Einzelzahl-Kette mit jeweils starken Verbindungen an, dass dort eine bestimmte Zahl abwechselnd gesetzt bzw. nicht gesetzt ist und leitet daraus einen Widerspruch ab. Die Methode ist sehr effektiv und grob gerechnet 20 mal häufiger als z.B. eine normale Einzelzahl-Kette; außerdem konnten etwa 5 - 10 % der bisher hier nicht lösbaren Sudokus damit gelöst werden (August 2023).

  Häufigkeit der Ausdünn-Methoden bei Rechnung von 267650 Standard-Sudokus, bei Option 2001 inklusive der zusätzlich möglichen (damit insgesamt etwa 9566900) Lösungsschritte; dabei sind die 10 häufigsten Methoden mit insgesamt 96.1 % (!) vertreten:

  1. 1937700 = 20.25 % Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (mit 69.5 % Typ 3 bei Länge 3 und 24.2 % Typ 3 bei Länge 5)
  2. 1691000 = 17.7 % (Geschlossene) Goldene Kette (mit 35.2 % Länge 4 und 27.9 % Länge 5)
  3. 1500300 = 15.7 % Box-Test
  4. 1102100 = 11.5 % Zeilen-/Spalten-Test
  5. 929900 = 9.7 % Einfache Widerspruchs-Kette (mit 37.5 % Länge 5 und 32.5 % Länge 6)
  6. 670000 = 7.0 % Ausschluss-Rechteck (mit 23.0 % Typ 4A, 16.3 % Typ 7B und 10.5 % Typ 1)
  7. 664900 = 6.95 % 2-Tupel
  8. 316400 = 3.3 % 3-Tupel
  9. 293300 = 3.1 % XYZ-Wing/WXYZ-Wing/Erweiterter WXYZ-Wing
  10. 79100 = 0.9 % (Geschlossene) Einzelzahl-Kette (mit 55.6 % Länge 4 und 38.4 % Länge 6)

  Fasst man zusammengehörenden Ausdünn-Methoden zusammen, ergibt sich für die 6 Methoden-Gruppen:

  1. 2602400 = 27.2 % Zeilen-/Spalten-/Box-Test
  2. 2032500 = 21.25 % Einzelzahl-Widerspruchs-Kette, Einzelzahl-Gitter und -Kette
  3. 1984200 = 20.75 % (Geschlossene) Goldene Kette und XYZ-/(Erweiterter) WXYZ-Wing
  4. 1128000 = 11.8 % Widerspruchs-/Alternativ-/Folgerungs-Kette
  5. 1080700 = 11.3 % 2- bis 5-Tupel/Versteckte 2- bis 7-Tupel
  6. 739100 = 7.7 % (Quasi-)Ausschluss-Rechteck und Ausschluss-Schleife (Kette)
• Einführung der Methode "Diagonal-Zange" für Diagonal- und Farbdiagonal-Sudokus, die vom Diagonal-Experten Holger Schrader gefunden wurde. Dabei wird der mittlere Kandidat (der auf einer Diagonalen liegt) gelöscht, wenn von dort aus innerhalb einer Zeile oder Spalte genau zwei Reste mit diesem Kandidaten gesehen werden. Die Methode ist auch erweiterbar auf zwei Diagonalen (der Kandidat in der Sudoku-Mitte kann gestrichen werden, wenn in einer Zeile oder Spalte dieser Kandidat sowohl auf beiden Diagonalen als auch auf der unterhalb/neben der Sudoku-Mitte liegenden Spalte/Zeile liegt), aber abgewandelt auch als "Farb-Zange" auf Farb- und Farbdiagonal-Sudokus (Juli/August 2023).

• Um hier nicht alle denkbaren (und bei Lösung mit Hand kaum benutzbaren) vielleicht 30 weiteren Lösungsmethoden programmieren zu müssen, wurden die Methoden "Bowman's Bingo" und "Trial&Error" eingebaut. Verbesserung der Methode "Bowman's Bingo" (Quasi-Widerspruchs-Kette, Quasi-Forcing Net), Einführung der Methode "Trial&Error", die einer N-fachen Methode "Bowman's Bingo" entspricht und i.A. immer zum Ziel führt (bei etwa 18 % der extrem schwierigen Sudokus notwendig) (April/Juni 2023).
• Einführung der Methode "Bowman's Bingo" für Sudokus, die bisher nicht gelöst werden konnten (Farbmarkirung: türkis); genaue Beschreibung siehe bei "SudokuWiki" (November 2021).
• Einige Änderungen und Vereinfachungen bei der Ausgabe der Ausdünn-Ergebnisse (Juni 2021).
• Programmierung der neuen Variante Farbdiagonal-Sudoku - eine Mischung aus Farb-Sudoku und Diagonal-Sudoku (Juni 2021).
• Einführung einer neuen direkten Methode (C7) "Ist in einer Box eine Zahl nur innerhalb einer Zeile und auch einer Spalte möglich, so muss diese am Kreuzungspunkt liegen" (nach Stefan Heine).Zusätzliche Eingabemöglichkeit mit Buchstaben (A bis I und a bis i) statt Zahlen (1 bis 9) - bei Buchstaben-Eingabe auch Ausgabe der Lösung mit (Groß-)Buchstaben.Damit sind auch quasi-lesbare Sudokus möglich, z.B. das Farb-Sudoku ACHGOTT.......DA.....HABE...............ICH........DIE......FEIGE........DABEI..., wobei der Punkt und die Buchstaben nach I (hier O und T) für das Nicht-Besetzt-Symbol 0 stehen. (Juni 2021)

• Kleinere Anpassungen bei den Extra- und Abzugs-Punkten, kleinere Korrekturen (März 2020).
• Anpassung aller Änderungen bei den Standard-Sudokus auf Diagonal-Sudokus/X-Sudokus und Farb-Sudokus durch Zusammenfassen aller drei Quell-Programme zu einem Programm von nun knapp 30000 Zeilen (Januar 2020).

  Fast alle Beispiele sind aber weiterhin für Standard-Sudokus, wenn nichts Anderes gesagt wird.

• Einige Verbesserungen bei der D-Methode, Verringerung der Extra-Punkte und andere kleinere Punktzahlen-Änderungen. Neuer Spezial-Button "8 VARIANTEN": Dabei werden zu einem Sudoku 7 weitere Varianten (durch Drehung, Vertauschung u.s.w.) gerechnet und am Ende alle ermittelten Punkte inklusive dem Minimum ausgegeben (was natürlich zu etwa 8-facher Rechenzeit führt) - dadurch bessere Information über den Schwierigkeitsgrad eines Sudokus (insbesondere über das gefundene Minimum) möglich; Aufruf in der Kommandozeile mit der Option 8VAR (Dezember 2019).
• Neuer Spezial-Button: "NUR BEWERTUNG" (entspricht Option 2001) mit stark verkürzter Ausgabe; Verkleinerung der Extra-Punkte beim Ausdünnen (September 2019).

  Aufruf in der Kommandozeile mit der Option NBEW statt z.B. 2001:curl -o curl.html https://www.sarahandrobin.com/ingo/sudoku/sudoku_solver_loop_std_synchron.php?008050000090000400600003000000002050007018600380090071070480000003009825000000040_0_NBEW

  PS: Die Kommandozeilen-Tools cURL und Wget (älter) sind zum Herunterladen von Websites, um diese offline zu lesen bzw. zu analysieren. Sie sind i.A. bei Unix/Linux/MacOS-Systemen vorhanden, für Windows-Systeme ist curl seit Windows 10 vorhanden.

  Analyse z.B. mit Ausgabe der Zeile mit dem Text "Normierte Punktzahl (ab 17 Ausgangszahlen)"

• Stark verbesserte Bewertung: Bei sehr vielen (mehr als 10 bzw. 15) Alternativen in den Direkten Methoden A bis D wird die aktuelle Punktzahl halbiert (Punkte-Abzug). Die Reihenfolge der Direkten Methoden ist nun A, B, C, D - wichtig im pseudo-synchronen Fall, bei der nur der erste Treffer benutzt wird. Zum Teil kleinere Punktzahlen bei A1-A3 durch Vergrößerung der Grenzen (3 nach 4 und 1 nach 2) (Oktober 2018). Die Höhe der Extra-Punkte bei der Direkten Methode A wird verkleinert. Die Bewertung bei der Bestimmng der Kandidaten (Reste vor dem Ausdünnen) wird etwas vergrößert (November 2018). Im nicht-synchronen Fall werden beim Ausdünnen nur noch die Schritte ausgegeben, wenn dadurch auch neue Streichungen erfolgen; außerdem werden die Schritte bevorzugt, bei der die Streichungen zu einem einzigen Kandidaten führen (Dezember 2018).
• Änderung der Suchreihenfolge im nicht echt-synchronen Fall: Wenn eine Zahl gefunden wurde, fange die nächste Suche mit dieser Zahl an - das entspricht mehr dem Vorgehen eines menschlichen Lösers (November 2017).

  Beispiel mit vier Zahlen 6 als erste Treffer (statt vorher in Schritt 1, 2, 9 und 10): 000001020609004807000080003006000008004605200500000600900070000102800306030500000

• Vereinfachung und kleinere Änderungen bei den Bewertungen der Direkten Methoden A bis D und E bis F; Vergrößerung der Bewertung bei der Kandidaten-Ermittlung. Beschränkung aller Ketten von 16 auf Länge 14 zur Rechenzeitverkürzung. Nun insgesamt etwa 300 (hoffentlich) sinnvolle Sudoku-Beispiele (Oktober 2017).
• Einbau der WXYZ-Wing-Methode als Weiterentwicklung des XYZ-Wing; taucht sehr häufig in der erweiterten Form auf. Verbesserung und Erweiterung der Dokumentation (September 2017).

  Beispiel mit beiden Typen von WXYZ-Wings (Schritt 4 und 8): 000035700000700018080000000059000000710003609060020800000060040004900000070100500

• Die 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten wurden verbessert, um bis zu 5 Zusatzzahlen zu ermöglichen. Bei der Einzeldarstellung wird jetzt auch die Farb-Information mit übertragen (Juli/August 2017).
• Weitere Veränderungen, um die Bewertung eines Sudokus zu verbessern (April/Mai 2017):

  Berechnung der Zusatzpunkte für das Anschreiben aller Kandidaten auf 1/10 (gerundet) der Anzahl dieser Kandidaten.

  Beim Ausdünnen werden nun im nicht-synchronen Fall statt der ersten gefundenen Lösung alle diejenigen einer Stufe mit der größten Anzahl von Streichungen (falls nicht mehr als 3 Punkte vom Punkteminimum entfernt) und davon mit die kleinsten Punktzahl ausgegeben ("halb-synchroner Fall"). Im pseudo-synchronen Fall wird nur der erste dieser Ausdünnschritte benutzt.

  Im nicht-synchronen Fall werden bei den direkten Methoden A bis F alle Lösungsschritte mit minimaler Punktzahl benutzt. Vorteil: Liefert dadurch eine immer gleiche Punktzahl auch bei gedrehten oder gespiegelten oder Blockzeilen-/Blockspalten-/Zahlen-vertauschten Sudokus. Im pseudo-synchronen Fall bleibt es bei nur einem Schritt.

  Bei den Folgerungs-Ketten wird, wenn bisher keine Lösung gefunden wurde, ein zweiter Durchlauf mit mehr und längeren Ketten versucht.

  Verfeinerung der Extra-Punkte-Berechnung: Bei den direkten Methoden A bis D immer 2, 1 bzw. 0 Punkte bei nur 1, 2 bzw. 3 gefundenen Schritten (ohne offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel) und 4, 2 bzw. 1 Punkte bei nur 1, 2 bzw. 3 gefundenen Schritten, wenn einfache offensichtliche Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel gewählt wurden und 5, 3, 1 Punkte, wenn alle offensichtliche Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel gewählt wurden (alles auch im pseudo-synchronen Fall !). Bei den Ausdünnverfahren im nicht-pseudo-synchronen Fall zwischen 0 und 8 Punkten, je nachdem, welche Stufe gewählt wurde bzw. auf welcher Stufe der erste Treffer erzielt wurde.

• (Wieder-)Einführung der Ausgabe mit Alternativen auch bei den Direkten Methoden A-D, wenn sie an gleicher Position sind.

  Verfeinerte Punktzahl-Berechnung bei den Direkten Lösungsmethoden: A1/A2: 3 bis 1 Punkt, A3: 1 Punkt (analoge Punktzahlen bei C1/C2/C3 und D1/D2/D3), B0: 4 bis 2 Punkte; E1/E2: 2 bis 1 Punkt, E3: 1 bis 0 Punkte, F0: 1 bis 0 Punkte; 7 bis 1 Punkt bei D0, 4 Punkte für D4.Einbau der offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Test-Variante C0 ähnlich B0/D0 (7 bis 1 Punkt); Einbau der offensichtlichen 2-Tupel-Variante D5 bei zwei Paaren von offensichtlichen und gleichen 2-Tupeln in drei Ecken eines (Ausschluss-)Rechtecks (5 Punkte) (Dezember 2016).

  Zur Bewertung: Die Punktzahl ist abhängig von der Reihenfolge der Lösungsmethoden und auch von der Abarbeitungs-Reihenfolge links oben nach rechts unten, der Reihenfolge Zeile/Spalte/Box und der Zahlen 1 bis 9. Um eine "bessere" Bewertung zu erreichen, ist es notwendig, ein Sudoku auf mehrere Arten zu rechnen: z.B. durch Drehung oder Spiegelung der Tabelle, durch konforme Vertauschung von Block-Reihen und Block-Spalten oder durch Vertauschung der Zahlen (z.B. 1→8, 2→5, usw.). Der kleinste Wert der Punktzahlen aller berechneten Sudokus sollte der "richtigen" Bewertung dann sehr nahe kommen. Sinnvolle Optionen: halb-synchron mit 1000 bzw. 2000 und pseudo-synchron mit 1001 bzw. 2001 (also mit einfachen bzw. allen offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupeln), da die synchronen Versionen beim Ausdünnen oft Kandidaten löschen, die für den Lösungsweg gar nicht notwendig sind (trotzdem weiß man auch beim asynchronen Rechnen vorher nie, welche Schritte wirklich für die Lösung notwendig sind - dazu müsste man die Reihenfolge und Art der Ausdünnschritte variieren). Aber in drei Viertel aller Fälle sind die Abweichungen durch die Variationen klein (oft nur 3-5 Punkte), insbesondere bei relativ einfachen Sudokus.

  Im halb-synchronen Verfahren liefern (inzwischen) alle Varianten die gleiche Punktzahl, weil immer alle Schritte mit gleicher kleinster Punktzahl benutzt und bewertet werden. Die Punktzahlen liegen aber etwas höher (i.A. 10 % bis 15 %) als im pseudo-synchronen Verfahren, da nicht immer alle Schritte zur Lösungsfindung notwendig sind.

  Einfaches Beispiel im halb-synchronen Verfahren - Option 2000 (Alle folgenden Variations-Rechnungen mit jeweils 100 Varianten gerechnet!):Original mit 46.5 Punkten: 800000003009000000040706090005904100000000000003002700090108070002000400700000005Alle Varianten (prinzipiell) ebenso mit 46.5 Punkten, z.B. Drehung um 90 Grad: 700000008009000400020305090001009700000000000008204600040701000007000900500000003

  Gleiches Beispiel im pseudo-synchronen Verfahren - Option 2001:Original mit 41 Punkten: 800000003009000000040706090005904100000000000003002700090108070002000400700000005Nach zwei Drehungen auch mit 41 Punkten: 500000007004000200070801090007200300000000000001409500090607040000000900300000008

  Seltenes Beispiel: Original und alle 100 Varianten mit gleicher Punktzahl von 65 Punkten: 008900200000370500950200000607800005040000000000003910000050090700400080000000001Zahlenvertauschung 1↔9, 2↔8, 3↔7, u.s.w. mit 65 Punkten: 002100800000730500150800000403200005060000000000007190000050010300600020000000009

  Anderes seltenes Beispiel: Original und alle 100 Varianten mit gleicher Punktzahl von 100 Punkten: 000000010000165900800002700300000060004080590020000000502700009007953000460000000

  Normal-Beispiel: Original mit 25.5 Punkten: 080000104009000800007005002000020001090410070300070000500600000001000700604000030Zahlenvertauschung 1↔7, 2↔5, 3↔1, u.s.w. mit 20.5 Punkten: 030000702004000300008006005000050007040270080100080000600900000007000800902000010Zahlenvertauschung 1↔9, 2↔8, 3↔7, u.s.w. mit 23 Punkten: 020000906001000200003005008000080009010690030700030000500400000009000300406000070

  Seltenes Beispiel mit Ausdünnen und sehr großer Differenz zwischen niedrigstem und höchstem Wert (143 Punkte bei 12 verschiedenen Punktzahlen):Original mit 280.5 Punkten: 003000080050700003700120000010000006638000400070008002000001050500840000060900007Zeilengruppen vertauschen: 1. Blockspalte nach hinten und dann Drehung mit 230.5 Punkten: 980000170040000200001800000000040000005000008700206030050060700600731050000080003Zeilengruppen waagrecht und dann senkrecht vertauschen mit 366.5 Punkten: 001050000840000500900007060000080003700003050120000700000006010000400638008002070

  Am Ende einer Sudoku-Rechnung (vor dem Link "Neustart") werden dazu Rechnungen mit verschiedenen Variationen des eingegebenen Sudokus angeboten.

• Neue zusätzliche Methoden zu den Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten: Setzende und Reduzierende Alternativ-Ketten, d.h. wenn von einer (Paar-)Zelle entweder von beiden Kandidaten aus auf damit zwei verschiedenen Wegen/Ketten an einer anderen Stelle eine eindeutige Zahl gesetzt werden kann oder wenn von einem Kandidaten aus ein Widerspruch an einer anderen Stelle das Streichen dieses Kandidaten gefolgert werden kann. Häufigkeit: Etwa 2 % der bisher nicht gelösten Sudokus werden damit gelöst (November 2016).

  Beispiel mit 1 Setzenden Alternativ-Ketten: 100056009050700023700003000031000050090000200800000010000010000500902600004038000Beispiel mit 1 Reduzierenden Alternativ-Ketten: 000010045096050003000000008500000060061425000807960000005007000073001000000000200Beispiel mit beiden Typen von Alternativ-Ketten: 000001200010020030400700000200010600030407020008050009000009004080030050006800000

  Einzelheiten siehe den entsprechenden Teil der Dokumentation: Widerspruchs-, Folgerungs- und Alternativ-Ketten (Nice Loops)

• Keine Extra-Punkte, wenn gefundene Lösung vom Typ A3 (Direkte Dreier-Methode) ist; geänderte (verringerte) Extra-Punkte-Vergabe; besser lesbare Ausgabe (August 2016).
• Änderungen an den Ausschluss-Ketten: Typ 7B ist nun Typ 4C, da er in diese Gruppe (nur eine HK-Regel) gehört; ein neuer Typ 7B wurde gefunden und eingebaut; die Reihenfolge der Abarbeitung wurde geändert; die Bewertungen wurden zum Teil etwas erhöht; Optimierung bei den Widerspruchs-/Folgerungs-Ketten (Mai/Juni 2016).
• Erweiterung des Konzeptes der Widerspruchs-Ketten (Discontinuous Nice Loops): Einbau von Geschlossenen (Durchgehenden) Folgerungs-Ketten (Continuous Nice Loops) und verbesserte/erweiterte Version durch Neuprogrammierung (jetzt etwa doppelt so schnell). Leider können damit aber insgesamt nur etwa 6.5 % der bisher nicht lösbaren Sudokus jetzt gelöst werden; Geschlossenen Folgerungs-Ketten sind auch recht selten, aber man kann mit ihnen oft viele Kandidaten streichen. Die Unterscheidung Einfache und Erweiterte Widerspruchs-Kette wird nicht mehr dargestellt, aber bei der Bewertung berücksichtigt (März/April 2016).

  Hier ein paar Beispiele:Mit Einfacher Widerspruchs-Kette (ohne "!" innen): 000000000000001002003040050000000000000200601054000030000030047200800000600000000Mit Geschlossener Folgerungs-Kette (ohne "!" innen): 000050780406080100009000060200000007500010000900002310005600000610000004002900000Mit Einfacher Widerspruchs-Kette (mit "!" innen, in etwa 2.5 sec): 007200000000080100916000000400050600060070030000008004000063000230800500009400001Mit Geschlossener Folgerungs-Kette (mit "!" innen): 000000000000001002003040050000000001000003040006070000000050380090000000120600000Mit allen Ketten-Typen (Schritte 9 bis 31): 000000000407380000000052040000074500000530280060090070008400701703000006006000090

  Einzelheiten siehe den entsprechenden Teil der Dokumentation: Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten (Nice Loops)

• Versuchsweise sind die Ausgabetexte bei den Ausdünnmethoden nun anklickbar: Der grüne Ausdünntyp-Text führt zu einem externen Link der Dokumentation, bei der synchronen Ausgabe geht wie bisher der (rechte) blaue Text auf eine externe Einzeldarstellung des Sudokus. Kommentare und Anregungen dazu bitte an I.Gieseposteo.de senden (Januar/Februar 2016).
• Verbesserung der Ausgabe im nicht-synchronen Fall bei den offensichtlichen 2-Tupeln (Doppel) (Oktober 2015). Verbesserung der Ausgabe in allen Fällen bei den offensichtlichen 2-Tupeln (Doppel) (November 2015). Einbau der direkten Eingabe einer 81 Zeichen langen Sudoku-Zeichenkette - statt über die URL nach einem Fragezeichen zu gehen, z.B. für die Eingabe von Sudokus aus dem Internet wie bei Stefan Heine mit http://www.ps-heine.de/maximal; verbesserte Optik für das Drucken von Sudokus mit Sudoku Print; zusätzliche Möglichkeit, ein ausgedrucktes Sudoku über dessen Nummer nachträglich online rechnen zu lassen; Anpassung der Auflistung der Kandidaten bei einer Goldenen Kette an die logische Reihenfolge entsprechend der Dokumentation - Dank an Edgar K. (Dezember 2015). Verbesserung der Ausgabe in allen Fällen bei den offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests: Darstellung möglicher Positionen der Zahl z mit (z) (Januar 2016).

• Bemerkungen zur Schwierigkeit/Bewertung eines Sudokus:

  Der oft angenommene Zusammenhang zwischen "Anzahl Ausgangszahlen" und "Schwierigkeit des Sudokus" (wenig Ausgangszahlen = hohe Schwierigkeit) ist prinzipiell FALSCH. Das Problem der Schwierigkeits-Beurteilung sieht man am besten an den sehr zahlreichen und ausführlich untersuchten Sudokus mit nur 17 Ausgangszahlen (dem Minimum) [insbesondere von Gordon Royle, der 49158 Sudokus dokumentiert hat] - von denen i.A. behauptet wird, dass sie sehr schwierig sind: Etwa 33 % der vorliegenden etwa 57000 Sudokus mit 17 Ausgangszahlen sind mit den sehr einfachen direkten Methoden (A und B) lösbar; rechnet man zu den einfachen Methoden auch die offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und offensichtlichen 2-Tupel/Doppel (C und D) hinzu, sind sogar über vier Fünftel (80 %) einfach - also ohne Ausdünnen - lösbar! Nur etwa 0.5 % sind mit diesem Programm bisher nicht lösbar und etwa 19 % mit bis zu 30 Ausdünnschritten lösbar (von denen auch nur knapp 0.2 % mehr als 240 Punkte haben, also wirklich schwierig sind)!

  Man sieht auch, dass bei den meisten Sudokus mit wenigen Ausgangszahlen wenigstens einige Zahlen schnell gefunden werden können, ehe man ins Stocken kommt - und dann fängt die Schwierigkeit an, also erst bei einer höheren Anzahl von Zahlen. Bei allen hier vorhandenen wirklich schwierigen Sudokus mit mindestens 240 Punkten (knapp 17000) gibt es bei 75 % der Sudokus mindestens 6 einfache Schritte, ehe überhaupt der Ausdünnvorgang (bei dann zwischen 28 und 50 Zahlen) begonnen werden muss.

  Nur die Konstellation der Ausgangszahlen (an welchen Stellen welche Zahlen stehen) ist für den Schwierigkeitsgrad eines Sudokus verantwortlich, also nicht die Anzahl der Ausgangszahlen, wie man es in den meisten Zeitungen, Zeitschriften und Bücher aber findet (Zwei der wenigen Ausnahmen: "200 Sudoku im praktischen Abreißblock" von Eberhard Krüger und "Sudoku maximal" von Stefan Heine)! Die "wirkliche" Schwierigkeit kann nur durch ein Programm nachträglich ermittelt werden, da sie kaum vorher bei der Konstruktion des Sudokus festlegbar ist.

  Einige - sehr unterschiedlich schwierige - Beispiele bei 17 Ausgangszahlen:

  Ohne Ausdünnen lösbar:Sehr einfach lösbar (21 Punkte): 000000000000001002003040050000000001000002607004030000000000080000450030170000000Sehr einfach lösbar (23 Punkte): 000000000000000012000003004000000050004010000006007300000604800010020009050000000Sehr einfach lösbar (32.5 Punkte): 000000001000001002034000000000000030000050600700002000000800090006309000400000005Einfach lösbar (41.5 Punkte): 000000000000000012003045000000003006000700000040000500000100000006200078305000000Einfach lösbar (57 Punkte): 000000000000001002003000040000030000005460000070000801000040000020500060180000000Schon etwas schwierig lösbar (72 Punkte): 000000001000000002003004000000001350060000400700080000000060907000800000205000000Schon etwas schwierig lösbar (97 Punkte): 000000000000001002002000034000020000004030000050000600000705100007006000803000000Schon etwas schwierig lösbar (110 Punkte): 000000001000001023004050000000006000007000800010003000000070500000480000200000006Recht schwierig lösbar (111.5 Punkte): 000000001000002000003000040000030000005460000010000708000500060020000000180007000

  Mit Ausdünnen lösbar:Einfach lösbar in 1 Ausdünnschritt (47.5 Punkte): 000000001000000020003004000000001305020060000700000008000070000005620000030000004Lösbar in 3 Ausdünnschritten (143 Punkte): 000800020006000300040200000003000601500900000800000000290000050000070000000060000Lösbar in 11 Ausdünnschritten (210 Punkte): 000000000000000012003045000000001460007000000020080000000030500210700000600000000Lösbar in 22 Ausdünnschritten (300 Punkte): 000000001000000023004005000000004600010000000270030000000210000008090000050000800Lösbar in 23 Ausdünnschritten (340 Punkte): 000000000000001002034000050000000006000050300007042000000630800109000000200000000Lösbar in 24 Ausdünnschritten (398 Punkte): 000000001000000023004005000000006500030010000070000000000030002006080000905200000Lösbar in 26 Ausdünnschritten (422.5 Punkte, in etwa 2 sec): 000000001000000023004005000000000060000007500120030000000120008000400000076000000Lösbar in 29 Ausdünnschritten (523 Punkte, in etwa 4 sec): 000000000002003001050060040000007000000102000400000080060080000000000007001000203Bisher ungelöst nach 1 Ausdünnschritt und etwa 3 sec (bis dahin 72 Punkte), mit Bowman's Bingo gelöst mit 149 Punkten: 000000001000000020003045000000000300010000000260007000000002460008000070100900000Immer noch ungelöst nach 12 Ausdünnschritten und etwa 4 sec (bis dahin 242 Punkte), mit Bowman's Bingo gelöst mit 319 Punkten: 000000001000000020003045000000003400000006000120000007008000500500000600700100000Immer noch ungelöst nach 23 Ausdünnschritten und etwa 7 sec (bis dahin 422 Punkte), mit Bowman's Bingo gelöst mit 541 Punkten: 000000001000002003004056000000000260070000000810300000000170000006000050040000000

  Umgekehrt gibt es viele Sudokus mit mehr als 36 Ausgangszahlen (der üblichen Grenze), die gar nicht so einfach lösbar sind. Hier ein paar Beispiele:

  Etwas schwierig lösbar bei 48 Ausgangszahlen in 15 Ausdünnschritten (165 Punkte): 000001043040300012103245607000674301310020764764103200076430120421000030830012476Etwas schwierig lösbar bei 52 (!) Ausgangszahlen in 17 Ausdünnschritten (234 Punkte): 754000230198237654623405070417000062582674000936021047245100700069702400071040020Etwas schwierig lösbar bei 55 (!!) Ausgangszahlen in 15 Ausdünnschritten (169 Punkte): 003716004040895360060243000618954003732168459594372816300681040006429030400537600Einfacher lösbar bei 58 Ausgangszahlen in 5 Ausdünnschritten (62 Punkte): 950140328023090001001230900639851274572964183184723569000019032290380410310472090

  Und es gibt viele Sudokus mit mehr als 36 Ausgangszahlen (der üblichen Grenze), die mit diesem Programm (ohne Bowman's Bingo) nicht lösbar sind. Hier ein paar Beispiele:Bisher ungelöst bei 43 Ausgangszahlen nach 15 Ausdünnschritten (bis dahin 221 Punkte), mit Bowman's Bingo gelöst mit 298 Punkten: 008240730230087000700390028000032405593470280402050003600023007320710000017064302Bisher ungelöst bei 48 Ausgangszahlen nach nur 6 Ausdünnschritten (bis dahin 103 Punkte), mit Bowman's Bingo gelöst mit 180 Punkten: 104296030200734000000158240041063572002071400706425310400382000020617004010549023Bisher ungelöst bei 55 Ausgangszahlen nach nur 1 Ausdünnschritt (bis dahin 45 Punkte), mit Bowman's Bingo gelöst mit 122 Punkten: 501023004400501032023046159012305406000402501045019023000158247184237965257004318

• PS: Nach 10 Jahren kann man wahrscheinlich ruhigen Gewissens die Beschäftigung mit der Sudoku-Software als im Wesentlichen beendet betrachten. Laut Internet Archive wurde dieses Programm zwischen 24. September 2005 und 19. April 2012 (der Rechner www-aix.gsi.de wurde Ende 2012 stillgelegt) in verschiedenen Stadien 78 Mal gespeichert. Wen es interessiert: Hier ist dieses erste Programm zum Vergleich. Das aktuelle Programm ist etwa 110 Mal so groß und hat etwa 55 Mal so viele Zeilen wie das erste Programm :-)

  PS: Langfristig wird es dieses Programm nur noch auf dem Rechner https://www.sarahandrobin.com/ingo/ geben (Juli 2015).See AlsoSudoku X Solver by Andrew Stuart

• Optimierung bzw. Neu-Programmierung mehrerer Verfahren (u.a. Einzelzahl-Gitter, Ausschluss-Ketten) und Herabsetzung des Maximums für zu untersuchende Ketten; die Laufzeit des Programms wurde dadurch oft (insbesondere bei komplexeren Sudokus) um den Faktor 2 bis 3 besser. Gleichzeitig können nun auch (die selten auftretenden) 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten mehr als 1 Zusatzzahl haben, aber weiterhin ohne Vermeidbaren 6er-Ausschluss-Ketten (April/Mai 2015).

• Einbau der XYZ-Wing-Methode als Erweiterung der 3er-Goldenen Kette, die sehr oft gefunden werden kann. Einbau (neben 2*2-Einzelzahl-Gittern) von 3*3- und 4*4-Einzelzahl-Gittern, allgemein Swordfish und Jellyfish genannt. Diese Verallgemeinerung des Urtyps X-Wing (2*2-Einzelzahl-Gitter) ermöglicht es, gleich mehrere Kandidaten (13 wurden häufig beobachtet) streichen zu können, was sie so interessant macht - sie werden nun alle vor den Einzelzahl-Ketten bestimmt; sie sind aber leider nicht sehr häufig anzutreffen. (Februar/März 2015).

  Beispiel mit einem XYZ-Wing: 000000002000178030807090000000082910030000024200600000765000000080007060300000045

  Beispiel mit einem 2*2-Einzelzahl-Gitter (mit 1 streichbaren Kandidaten): 000000000012000340050206070004080500000103000009050700060509080021000460000000000

  Beispiel mit einem 3*3-Einzelzahl-Gitter (mit 5 streichbaren Kandidaten): 102000300000009050900030006000500010005020400010006000600070002080900000004000803

  Beispiel mit einem 4*4-Einzelzahl-Gitter (mit 8 streichbaren Kandidaten): 000000000001203400024506370068000250000000000093000180076401530002805600000000000

  Einzelheiten siehe den entsprechenden Teil der Dokumentation: Goldene Kette inkl. (W)XYZ-Wing und Einzelzahl-Gitter und -Ketten

• Einbau von Einfachen und Erweiterten bzw. Setzenden Widerspruchs-Ketten (Discontinuous Nice Loops/Alternating Inference Chains). Dadurch können etwa 61 % der bisher nicht lösbaren Sudokus gelöst werden (von den hier vorhandenen 319000 nicht-trivialen Standard-Sudokus können nun 83 % gelöst werden). Die Suche erfolgt erst, wenn keine anderen Lösungsschritte gefunden wurden (Januar/Februar 2015).

  Das Vorgehen bei den bisher eingebauten Ausdünnmethoden geht immer in zwei Schritten: Zuerst wird ein Muster, z.B. ein N-Tupel, eine Goldene oder Einzelzahl-Kette oder (zum Teil) auch eine Ausschluss-Kette, gesucht. Dieses Muster existiert für sich alleine, ohne erst einmal eine Wirkung haben zu müssen. Erst im nachfolgenden Schritt wird überprüft, ob man damit einen oder mehrere Kandidaten streichen kann - was nicht immer der Fall ist - und diese Kandidaten liegen im Allgemeinen außerhalb der gefundenen Muster. Das Vorgehen bei den Widerspruchs-Ketten ist vollkommen anders: Man nimmt an, dass ein gewählter Kandidat richtig (oder nicht richtig) ist und versucht nun, durch eine Verkettung von (allerdings logisch aufgebauten und unabhängigen) Schlüssen, daraus einen Widerspruch abzuleiten. Das sind also keine zwei unabhängigen Schritte und erinnert damit eher an ein Trial&Error-Verfahren. Noch mehr in diese Richtung gehen weitergehende Ketten-Verfahren wie die aus mehreren Ketten kombinierten Verfahren wie "Contradiction Forcing Chain" oder "Region Forcing Chain" (Begriffe nach Sudoku Explainer). Sie sind für menschliche Löser wenig geeignet und wohl nur dazu da, alle Sudokus per Programm lösen zu können.

  Beispiel mit 2 Einfachen bzw. Erweiterten Widerspruchs-Ketten (Länge 5): 000060030000007001000930006070001004305000907800070060054000000900006000001000820

  Beispiel mit 13 wirkenden von 159 Widerspruchs-Ketten (Länge bis 7, Schritte 11 bis 23), in 1 Sekunde: 000000000000000012003004000000003005006000400070020001000050000200010000804000300

  Einzelheiten siehe den entsprechenden Teil der Dokumentation: Widerspruchs-Ketten

• Die Webseite zum Drucken von jeweils 4 neu zufällig ausgewählten Sudokus eines angebbaren Schwierigkeitsgrades wurde für alle drei Sudoku-Arten (Standard-Sudoku, Diagonal-Sudoku, Farb-Sudoku) verbessert bzw. neu eingeführt. Dabei kann man den Typ der Sudokus (entsprechend der Typen bei der Optionsangabe) und die minimale und maximale Punktzahl (beim nicht-synchronen Verfahren berechnet) angeben (Dez. 2014).
• Mehr durch Zufall wurden etwa 4000 (von etwa 1 Million) erstaunliche Sudokus gefunden, die sowohl als Standard-Sudokus und auch als Diagonal-Sudokus bzw. Farb-Sudokus bzw. Farbdiagonal-Sudokus lösbar waren; etwa 240 davon waren in den drei Varianten Diagonal-, Farb-, Farbdiagonal-Sudokus lösbar, etwa 225 in allen 4 Varianten. In den meisten Fällen ergab es die gleiche Lösung, nur in der Variante mit Diagonal- und Farb-Sudokus gab es auch jeweils unterschiedliche Lösungen (Dez. 2014). Inzwischen sind es über 12500 Sudokus (von knapp 1.8 Millionen, also 0.7 % mehrfach - bzgl. Sudoku-Typ - lösbare Sudokus).

  Hier ein paar Beispiele:

  Gleiche Lösung in allen vier Sudoku-Varianten:

  Standard-Sudoku: 460090500057230004000700000009350200603001000000000000000020080140509000090000000 Diagonal-Sudoku: 460090500057230004000700000009350200603001000000000000000020080140509000090000000 Farb-Sudoku: 460090500057230004000700000009350200603001000000000000000020080140509000090000000 Farbdiagonal-Sudoku: 460090500057230004000700000009350200603001000000000000000020080140509000090000000

  Gleiche Lösung in nur drei Sudoku-Varianten (die Standard-Variante hat dabei 30619 Lösungen!):

  Diagonal-Sudoku: 000490062000000017130005000000000070360700490000000000600000900800000000002300700 Farb-Sudoku: 000490062000000017130005000000000070360700490000000000600000900800000000002300700 Farbdiagonal-Sudoku: 000490062000000017130005000000000070360700490000000000600000900800000000002300700

  Gleiche Lösung in nur jeweils zwei Sudoku-Varianten:

  Standard-Sudoku: 600045007802006500000000300000070250003000180050000000000600020000802009000019000 Diagonal-Sudoku: 600045007802006500000000300000070250003000180050000000000600020000802009000019000

  Standard-Sudoku: 006008900000007100072050000180000000009000400000000063000030852001900000000205000 Farb-Sudoku: 006008900000007100072050000180000000009000400000000063000030852001900000000205000

  Diagonal-Sudoku: 000000000004906800080107090035000460000000000021000730090704020007309600000000000 Farbdiagonal-Sudoku: 000000000004906800080107090035000460000000000021000730090704020007309600000000000

  Unterschiedliche Lösungen wurden bisher nur in den Varianten Diagonal- und Farb-Sudoku beobachtet (etwa 260 Sudokus). Beispiel mit sehr hoher Punktzahl-Differenz:

  Diagonal-Sudoku: 105 Punkte 000004010320000000005007080000056000007000003000020004008000900000000070001000000 Farb-Sudoku: 1251 Punkte 800040000000003001000007000000000760500010000200000900002000090040000000080100070

  Unterschiedliche Lösung in den zwei Sudoku-Varianten Diagonal- und Farb-Sudoku, hier mit mehr Punkten als Diagonal-Sudoku:

  Diagonal-Sudoku: 637 Punkte 700002003000067184000000000000020008800000000046500000000000500000000000104000079 Farb-Sudoku: 166 Punkte 700002003000067184000000000000020008800000000046500000000000500000000000104000079

  Die Anzahl der Unterschiede in den Lösungen ist oft um die 50 Zeichen!

• Die älteren Programm-Neuigkeiten findet man unter: Ältere Programm-Neuigkeiten

Sechs direkte Sudoku-Lösungsmethoden - Standard-Sudokus (A bis F)

1. Einfachste Methode: Einzige Position einer Zahl: Direkte Dreier-Methode oder eindeutige Stelle (Hidden Single): Bestimme die fehlende dritte Zahl in drei zusammen (nebeneinander oder untereinander) liegenden Boxen. D.h.: Findet man in zwei von drei zusammen liegenden Boxen eine bestimmte Zahl (die dann in zwei verschiedenen Zeilen bzw. Spalten liegen), sucht man in der dritten Box in der bisher nicht betrachteten Zeile bzw. Spalte nach einem eindeutigen Ort, an dem diese Zahl nur stehen kann (einfachster Typ A3). In vielen Fällen findet man auch beim Durchsuchen von ganzen (über alle Boxen gehenden) Zeilen bzw. Spalten (A1 bzw. A2) eine einzige Stelle, an der eine bestimmte Zahl nur stehen kann; da man dabei aber mehr Zellen ansehen muss, hat dieser Fall (A3) eine höhere Punktzahl.

   Bewertung A1/A2: 1 bis 2 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Zeilen/Spalten, A3: 1 Punkt innerhalb Boxen; 0 Punkte bei der letzten fehlenden Zahl; Farbmarkierung: Grün

   Beispiel für den einfachen Fall (A3):In der dritten Box (OR) kann die Zahl 7 nur in der dritten Zeile sein; damit bleibt die letzte Spalte als einzig möglicher Ort übrig (mit kleinem x markiert).PS: Der Übersichtlichkeit wegen wurden viele Zellen nicht ausgefüllt, da deren Inhalt ohne Bedeutung ist; ebenso fehlen im Allgemeinen die letzten Zeilen der Beispiel-Sudokus.

   					7
   7
   						1		4	5
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   Beispiel für den komplexeren Fall (A1/A2):Es kann auch in den Zeilen (A1) bzw. Spalten (A2) nachgesehen werden, ob eine Stelle für eine bestimmte Zahl frei ist. In diesem abgewandelten Beispiel kann die Zahl 7 wieder nur in der dritten Zeile der rechten Box (OR) liegen. Da aber in der 8. Spalte in der darunter liegenden Box (MR) schon eine 7 steht, bleibt wieder nur die letzte Spalte (mit kleinem x markiert) als Zielort übrig (A1).

   					7
   7
   						1		4
   									7
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   Beispiele mit vielen A-Fällen

2. Einzig mögliche Zahl: Einzige noch fehlende Zahl an einem bestimmtem Ort (Naked Single): Man untersucht für einen Ort, welche der 9 Zahlen dort stehen könnten, wobei die Sudoku-Regeln berücksichtigt werden müssen. Bleibt nur eine Zahl übrig, hat man die Lösung für diese Stelle gefunden (B0). Das klingt zwar einfach, ist aber nicht so leicht zu erkennen (wenn man nicht alle Kandidaten schon aufgeschrieben hat) und man daher sehr viele Nachbarzellen ansehen muss (was eine hohe Punktzahl rechtfertigt).

Bewertung B0: 3 bis 5 Punkte (bei 1-4, 5-8, 9-12 noch fehlenden Zahlen außer der untersuchten Zelle); Farbmarkierung: Blau

Beispiel: Die einzige Zahl an der Position Zeile 3 und Spalte 4 (mit kleinem x markiert) kann nur die Zahl 7 sein, weil alle anderen Zahlen schon in gleicher Zeile (1, 4, 8, 9), in gleicher Spalte (2, 5), bzw. in gleicher Box (1, 2, 3, 6) vorhanden sind.

				2	6
						3
	8					1		4		9
				5					7
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Beispiele mit vielen B-Fällen

3. Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test (Direct Pointing): Abwandlung der einfachsten Methode (A): Bestimme den Ort einer bestimmten Zahl z ohne genaue Kenntnis des Ortes dieser Zahl an den anderen Stellen: Hier nutzt man aus, dass dort die Position dieser Zahl zwar noch nicht genau bekannt ist, aber auf eine Zeile oder Spalte einer Box beschränkt werden kann (Darstellung mit "(z)"). Dann folgt der Ort für diese Zahl analog der oben beschriebenen Methode A (Kennung C1/C2/C3 analog A1/A2/A3). Die Methode C3 ist oft schneller (einfacher) zu sehen als die A1- und A2-Methoden (einzige Position in einer Zeile oder Spalte), wenn es nur eine einzige Begründung gibt.

Bewertung C1/C2: 1 bis 2 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen abzgl. Anzahl Begründungen - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Begründungen belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, C3: 1 Punkt innerhalb Boxen; plus 2 * Anzahl der notwendigen Begründungen (normal bis zu 5 Begründungen; aber bis zu 8 Begründungen sind möglich, wurden aber nur bei C0 gefunden); 0 Punkte bei der letzten fehlenden Zahl; Farbmarkierung: Rot

Beispiel für den einfachen Fall (C3):Im einfachen Fall weiß man, dass in der rechten Box (OR) die Zahl 6 nur in der zweiten Zeile sein kann, da die erste Zeile nicht in Frage kommt (wegen der 6 in Spalte 9) - die genaue Position der Zahl 6 in der mittleren Zeile dieser Box ist aber noch unbekannt. Hier ist sogar auch die Position dieser Zahl in der mittleren Box OM noch unbekannt. Trotzdem kann man daraus schließen, dass in der ersten Box (OL) die 6 nur in der dritten Zeile sein kann; in dieser Zeile bleibt dann nur die zweite Spalte als einzig möglicher Ort übrig (mit kleinem x markiert).

5	4	7						2	8
8						2		(6)	(6)
2		3						5	4	9
										6
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Beispiel mit 4 folgernden Begründungen (C3):Offensichtlich gilt für Zahl 4: In Box 3#2 (UM) kann sie nur in Spalte 5 sein => Daraus folgt, dass sie in Box 2#2 (MM) nur in Zeile 5 möglich und deshalb in Box 2#3 (MR) nur in Spalte 9 möglich ist => Daraus folgt dann, dass Zahl 4 in Box 1#3 (OR) nur in Spalte 7 möglich ist. Damit bleibt als einzig möglicher Ort für die Zahl 4 in Box 3#3 (UR) nur Spalte 8 und somit nur Zeile 8 übrig (mit kleinem x markiert).

4	5			2	7				1
7	6			8				(4)	2
2	9	8						(4)	3	7
9	1	7		3		8		2	5	(4)
5		2		(4)		(4)		7
8		6		7	2	5		1	9	(4)
	8	5		9	(4)	2			7	1
1	2	9		6	(4)	7		3		5
	7	4		5		1		9		2

Beispiel für den komplexeren Fall (C1/C2):Wegen der Zahl 7 in der rechten mittleren Box (MR) kann in der davor liegenden Box (MM) die 7 nicht in Zeile 5 stehen. Damit bleiben als mögliche Orte für die 7 in dieser Box nur die beiden Positionen in der Spalte 5 übrig (mit (7) angezeigt).Nun kann man ähnlich wie im einfachen Fall folgern, dass die Zahl 7 in der 3. Zeile nicht in Box OL stehen kann (in dieser Box ist schon eine 7), auch nicht in Box OM wegen der 7 irgendwo in Spalte 5 von Box MM (mit (7) markiert), aber auch nicht in Spalte 8 der Box OR (wegen der 7 in Box MR), und somit bleibt in Zeile 3 nur die Spalte 9 (mit kleinem x markiert) als Zielort übrig (C1).

7
				2		1		4
				3	(7)	2
									7
				5	(7)	8
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Variante C0:Die einzig mögliche Zahl entsprechend der B0-Methode kann manchmal gefunden werden ohne genaue Ortskenntnis von anderen Zahlen entsprechend offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests.

Bewertung C0: 3 bis 7 Punkte (bei 1-4, 5-8, 9-12, 13-16, 17-20 noch fehlenden Zahlen außer der untersuchten Zelle abzgl. Anzahl Begründungen); plus 2 * Anzahl der notwendigen Begründungen

Beispiel für diese Variante:In Box 1#2 (OM) muss die Zahl 6 in Zeile 1 liegen; daher kann in Zeile 1 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) nur die Zahl 2 sein.

				(6)	(6)	1		4	9	8
				4	8				5
				2				6	3	7
		7		1	5				8	9
		3		8
		5		9		6
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Variante C7:Ist in einer Box eine Zahl nur innerhalb einer Zeile und einer Spalte möglich, so muss diese am Kreuzungspunkt liegen.

Bewertung C7: 6 bis 10 Punkte (bei 1-5, 6-8, 9-11, 12-14, 15-17 noch fehlenden Zahlen in der jeweiligen Zeile und Spalte)

Beispiel für diese Variante:In Box 1#3 (OM) muss die Zahl 9 in Zeile 3 und Spalte 7 liegen (mit kleinem x markiert); denn die Zahl 9 kann in Zeile 3 nur in dieser Box sein (denn Spalte 4 ist durch die 9 in Zeile 7 belegt) und in Spalte 7 auch nur in dieser Box sein (denn Zeile 9 ist durch die 9 in Spalte 2 belegt).

	8	6							4	5
	4	5							1	2
2	1	3			4	5
8		9		1	5			7	6	4
6		4						5	8	1
5	7	1		4	8	6		2
3	5			9				4
4	6			5				1
1	9			2		4			5

Beispiele mit vielen C-Fällen

4. Offensichtliche 2-Tupel (Doppel) (Direct Hidden Pair): In vielen Fällen sieht man zwei Zellen innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box, in denen genau zwei bestimmte Kandidaten vorkommen müssen, weil sie in allen anderen Zellen dieser Zeile, Spalte bzw. Box nicht vorkommen können. Diese werden hier offensichtliche 2-Tupel (Doppel) genannt und entsprechen häufig Versteckten 2-Tupeln. Da diese beiden Zellen nicht mit anderen Zahlen belegt werden können, ermöglicht dies dadurch das Auffinden anderer Zahlen, ohne dass die Kandidaten in allen Zellen aufgeschrieben werden müssen. Dabei gibt es zuerst die drei Methoden D1/D2/D3 analog A1/A2/A3, und drei Varianten D0, D7 und D8.

Bewertung D1/D2: 2 bis 3 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen abzgl. 2* Anzahl Doppel - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, D3: 2 Punkte innerhalb Boxen; plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel (bis zu 3 Doppel realistisch, 4 Doppel sind extrem selten); 0 Punkte bei der letzten fehlenden Zahl; Farbmarkierung: Gelbgrün

Beispiel für den einfachen Fall (D3):Wegen des offensichtlichen 2-Tupels 15 in der Box OM (1 und 5 gehen nicht in der mittleren Zeile und auch nicht in der mittleren Spalte) kann die einzige Zahl an der Position Zeile 2 und Spalte 6 (mit kleinem x markiert) nur die Zahl 7 sein bzw. die Zahl 7 dieser Box kann nur in Zeile 2 und Spalte 6 stehen (da sie nicht in Spalte 5 und nicht in Zeile 3 der Box OM sein kann).

				8		6			2
	5	1		2
				15		15
					7				4
					5
					1
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Variante D0:Die einzig mögliche Zahl entsprechend der B0-Methode kann manchmal gefunden werden ohne genaue Ortskenntnis von zwei anderen Zahlen, die ein offensichtliches 2-Tupel (Doppel) bilden.

Bewertung D0: 3 bis 6 Punkte (bei 1-5, 6-10, 11-15, 16-20 noch fehlenden Zahlen außer der untersuchten Zelle abzgl. 2 * Anzahl Doppel - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen); plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel

Beispiel für diese Variante:Durch das offensichtliche 2-Tupel 48 kann ausgeschlossen werden, dass die Zahlen von diesem 2-Tupel (4 und 8) an der betrachteten Stelle (mit kleinem x markiert) liegen; daher kann dort nur die Zahl 9 sein.

6	7	1		2	48	48
				7	5	1
8	2	5							4	7
										5
										3
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Variante D7:Kreuzen sich zwei offensichtliche, aber verschiedenen 2-Tupeln in einer einzigen Zelle, kann diese Zelle nur den gemeinsamen (in beiden Paaren der 2-Tupel vorkommenden) Kandidaten haben. Der Fall tritt aber selten (2 % der D-Fälle) auf.

Bewertung D7: 5 Punkte, da 2 Doppel (tritt daher im nicht-synchronen Fall nicht auf)

Beispiel für diese Variante:In der mittleren Zeile der linken Box (OL) können 1 und 7 nicht vorkommen; in der dritten Zeile können 4 und 7 nicht in der rechten Box (OR) liegen: Die einzige Zahl an der mit kleinem x markierten Stelle kann also nur die den beiden Doppeln gemeinsame Zahl 7 sein.

8	3	17						6	4
	2			1	6				7
6	5	17+47		3	8	47			2
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Variante D8:Beim Auftreten von zwei offensichtlichen und gleichen 2-Tupeln in drei Ecken eines Ausschluss-Rechtecks (in zwei Zeilen, zwei Spalten und zwei Boxen) kann die nicht besetzte Ecke eventuell einen einzigen möglichen Kandidaten haben, wobei die Kandidaten des 2-Tupels als sichtbar angesehen werden (ähnlich D0).

Bewertung D8: 5 Punkte, da 2 Doppel

Beispiel für diese Variante:Es gibt fast ein offensichtliches Ausschluss-Rechteck mit den Resten 29 in Zeile 1 und 6, und in Spalte 2 und 3, und in BOX OL und ML, wobei in Zeile 1 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) der Rest 239 möglich ist, d.h. von dieser Zelle aus können alle Zahlen außer 2, 3 und 9 gesehen werden. Wäre aber in dieser Zelle eine 2 oder eine 9, läge wegen der eindeutigen Lösbarkeit eines Sudokus ein Ausschluss-Problem vom einfachen Typ 1 vor (siehe unter Ausschluss-Rechtecke). Also kann nur die Zahl 3 der Wert für diese Zelle sein.

	29
4	5	6		1		9
	8									4
	3	1							2
	4	7								8
8	29	29						4	6
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Beispiele mit vielen D-Fällen

5. Vollständige Ausdünnung mit einem alleine auftretendem Kandidaten: Hat man nach einem oder mehreren Ausdünnschritten mehrere Reste (Kandidatenliste) so weit verkleinert, dass ein bestimmter Kandidat nur noch an einer einzigen Stelle innerhalb der Reste einer Zeile, einer Spalte oder einer Box vorkommt, ist diese Zahl Lösung für diese Stelle (Kennung E1/E2/E3 analog A1/A2/A3).

Bewertung E1/E2/E3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Zeilen/Spalten/Boxen; Farbmarkierung: Lila

Ausdünnung:Hier wird davon ausgegangen, dass zuerst versucht wird, das Sudoku ohne Anschreiben der Reste (das sind die Kandidaten, also die möglichen Zahlen für die jeweilige Stelle) zu lösen (Methoden A, B, C und D). Kommt man damit nicht weiter, muss man für jede freie Stelle alle Zahlen aufschreiben, die für diese Stelle in Frage kommen (also die dafür überhaupt noch möglichen Zahlen): Das sind die Kandidaten für die jeweilige Stelle, die hier als Ganzes "Rest" genannt und auch der Einfachheit halber als eine mehrstellige Zahl (ohne Komma oder andere Trennzeichen, unterhalb der Eingabefelder) geschrieben werden.Danach versucht man, diese Reste so lange "auszudünnen", also zu verkürzen, bis man zu einer eindeutigen Lösung für eine Stelle kommt (Methoden E und F). Die Ausdünnmethoden I bis VI werden im nächsten Abschnitt ausführlich beschrieben.

Beispiel für den Fall (E1):Nach der Ausdünnmethode II (N-Tupel, siehe weiter unten im nächsten Abschnitt) hat man z.B. in der oberen rechten Box (OR) in Spalte 9 das Reste-Paar 79 zwei Mal (hier ohne genaue Begründung) gefunden. Die Zahlen 7 und 9 müssen also an diesen beiden Stellen auftreten. Damit können in allen anderen Resten (Kandidatenlisten) dieser Box die Zahlen 7 und 9 gestrichen werden (mit [zahl] markiert). Da nun in Zeile 1 nur noch an einer einzigen Stelle der Kandidat 7 (Zeile 1 und Spalte 4 - mit kleinem x markiert) auftritt, kann er dort gesetzt werden.

2	6	4		157	9	15		15[7]	8	3
1579	1579	1579		2	3578	1358		6	4	79
3	8	1579		1357	6	4		15[7][9]	2	79
				6		2		8		1
				8	1	7				5
...	...	...		...	...	...		...	...	...

6. Vollständige Ausdünnung mit einem einzig möglichen Kandidaten (einstelliger Rest): Hat man nach einem oder mehreren Ausdünnschritten einen Rest so weit verkleinert, dass er nur noch aus einer Zahl besteht, ist diese Zahl die Lösung für die betrachtete Stelle (Kennung F0 analog B0).

Bewertung F0: 0 bis 1 Punkte (bei 1-6, 7-9 noch fehlenden Zahlen); Farbmarkierung: Braun

Beispiel für F0:Nach der Ausdünnmethode I (Box-Test, siehe weiter unten im nächsten Abschnitt) kommt die Zahl 9 innerhalb der zweiten Zeile nur in der ersten Box (OL) vor: Daher muss die 9 dort sein (auch wenn man die Position innerhalb der zweiten Zeile noch nicht weiß) - sie kann also nicht in der dritten Zeile dieser Box noch einmal vorkommen. Daher kann man aus den Resten dieser Zeile in der Box OL den Kandidaten 9 streichen.Damit bleibt an der Position Zeile 3 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) nur noch die 3 als Kandidat übrig. Also hat man einen eindeutigen Rest an dieser Stelle gefunden und kann die Zahl 3 dort setzen.

5	246	36		9	8	7		1234	1234	1234
1	279	379		23	23	4		8	6	5
8	24[9]	3[9]		1	6	5		7	2349	2349
		4
	3	2
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Sechs Methoden zur Ausdünnung der Reste (Kandidatenliste) (I bis VI)

Der Begriff der Ausdünnung zur Verkürzung der Reste (Kandidatenliste) wurde im vorherigen Abschnitt unter Methode E schon kurz erläutert (Verkleinerung der Liste der für eine Zelle nur noch möglichen Kandidaten durch verschiedene Ausdünn-Methoden). Im Allgemeinen sind, um eine Lösung zu finden, immer mehrere Ausdünnschritte notwendig (im nicht-synchronen Fall oft 5 bis 20 Ausdünnschritte, aber es wurden auch schon 30 Ausdünnschritte direkt nacheinander, ehe eine Zahl gesetzt werden konnte, beobachtet!). Manche Schritte helfen dabei nicht zur Lösungsfindung, aber das weiß man vorher nicht.

Beispiele für Sudokus, bei denen sehr viele verschiedene Ausdünn-Methoden benutzt werden:

Ohne Bowman's Bingo (etwa 4 sec): 000500000060001004005960001009000040001840705000002000002085103000000000070000600

Mit Bowman's Bingo (etwa 9 sec): 200000500090400000106000007700300000080050000009001060070500300002030010400006809

Das Aufschreiben der möglichen Kandidaten von Hand (!) ist aufwändig und fehleranfällig; dafür werden 40 % der Anzahl der Kandidaten als Extra-Punkte angerechnet.

In den folgenden Beispielen werden oft nur Teile eines Sudokus mit entsprechenden Resten dargestellt, um das Ganze übersichtlicher zu machen; es sind Ausschnitte aus aktuellen Sudokus.

1. Test der Kandidaten jeder Zelle (Reste) innerhalb einer Box und innerhalb einer Zeile/Spalte: Kommt innerhalb einer Zeile bzw. Spalte einer Box ein Kandidat in mehreren Feldern vor, kann man eventuell diesen Kandidaten in anderen Feldern streichen, entweder wenn dieser Kandidat in den anderen Feldern der betrachteten Box nicht vorkommt (dann kann er aus den anderen Feldern der Zeile bzw. Spalte gestrichen werden: Zeilen-/Spalten-Test) oder wenn dieser Kandidat in den anderen Feldern der betrachteten Zeile bzw. Spalte nicht mehr vorkommt (dann kann er aus den anderen Feldern der Box gestrichen werden: Box-Test).
1. Zeilen-/Spalten-Test der Reste innerhalb einer Box (Block/Line Interaction, Pointing): Man sieht in den Resten nach, ob innerhalb einer Box eine Zahl vorkommt, die nur genau in einer Zeile bzw. Spalte dieser Box auftaucht - diese Zahl muss dann in dieser Zeile bzw. Spalte dieser Box stehen (wobei die genaue Position noch unbekannt ist). Dann kann man in den anderen Resten dieser Zeile bzw. Spalte außerhalb der Box diese Zahl streichen.
Bewertung: 3 Punkte.

Beispiel:

3	789	5		12789	12489	124789		1479	1479	6
178	4	1789		5	1389	6		1379	2	1379
6	79	2		1379	1349	13479		8	134579	134579
9	1			4	7	2
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Hier findet man z.B. die Zahl 1: Sie ist in den Resten der Box OL nur in der zweiten Zeile vorhanden (rot gefärbter Rest), nicht in den anderen Zeilen dieser Box. Also kann man in den anderen Resten dieser Zeile in den anderen beiden Boxen diese Zahl streichen (durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben). Damit bleibt übrig:

3	789	5		12789	12489	124789		1479	1479	6
(1)78	4	(1)789		5	[1]389	6		[1]379	2	[1]379
6	79	2		1379	1349	13479		8	134579	134579
9	1			4	7	2
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Beispiele mit vielen Zeilen-/Spalten-Tests

2. Box-Test der Reste in einer Zeile oder Spalte (Line/Block Interaction, Claiming): Man sieht in den Resten einer Box nach, ob innerhalb einer Zeile bzw. Spalte eine Zahl vorkommt, die nur genau in dieser Box auftaucht. Diese Zahl muss also innerhalb dieser Box in der gefundenen Zeile bzw. Spalte stehen (wobei die genaue Position noch unbekannt ist), sie kann dann aber aus den Kandidaten der anderen Zeilen bzw. Spalten innerhalb dieser Box gestrichen werden.
Bewertung: 4 Punkte, da sie etwas schwieriger zu sehen sind als Zeilen-/Spalten-Tests.

Beispiel:

28	5	3		4	7	9		12	6	128
7	1289	12689		136	136	5		1239	12389	4
4	19	169		8	136	2		1359	7	1359
1	6							8
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Hier findet man z.B. die Zahl 1: Sie ist innerhalb der ersten Zeile nur in den Resten der rechten Box OR vorhanden (rot gefärbter Rest). Also kann man in den anderen Zeilen dieser Box diese Zahl aus den Resten streichen - das wird auch hier durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben. Damit bleibt übrig:

28	5	3		4	7	9		(1)2	6	(1)28
7	1289	12689		136	136	5		[1]239	[1]2389	4
4	19	169		8	136	2		[1]359	7	[1]359
1	6							8
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Beispiele mit vielen Box-Tests

2. N-Tupel (Naked Pair, Hidden Pair, Naked Triple, Hidden Triple, Naked Quadruple, Hidden Quadruple): Man sucht in einer Zeile, Spalte oder Box nach N-Tupel, also danach, dass bestimmte Kandidaten an nur wenigen Stellen auftreten: Genauer heißt das, dass man N verschiedene Zahlen und dazu N Felder innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box sucht, in denen diese N Kandidaten auftreten, diese Kandidaten aber nicht in den anderen Feldern der untersuchten Zeile, Spalte oder Box stehen. Wenn an den N Stellen alle oder ein Teil der N betrachteten Kandidaten stehen, können diese Kandidaten nur an diesen N Stellen auftreten (wobei die Verteilung noch unbekannt ist); diese Kandidaten können dann aber aus den anderen Feldern gestrichen werden. Sind an diesen N Stellen keine anderen Zahlen zu finden, ist das ein direktes N-Tupel.Liegen in den N Feldern nicht nur die N verschiedenen Kandidaten, sondern auch noch andere Zahlen, wobei die N Kandidaten aber nicht außerhalb dieser N Feldern (der gleichen Zeile, Spalte oder Box) sein dürfen, so hat man ein "Verstecktes N-Tupel".
Es gibt 2-Tupel (Doppel), 3-Tupel (Tripel), 4-Tupel (Quadrupel), 5-Tupel (Pentupel), 6-Tupel (Sextupel) und 7-Tupel (Septupel) - 8-Tupel machen keinen Sinn, da dann die neunte Zahl eindeutig ist und somit direkt gefunden werden kann. Zu jedem gefundenen N-Tupel gehört ein entsprechendes Verstecktes M-Tupel (mit den M anderen Kandidaten), wobei N+M gleich der Anzahl der freien Felder innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box ist. Sind die N Kandidaten aus den anderen Resten gestrichen worden, wird aus dem Versteckten M-Tupel ein normales M-Tupel (im ersten Beispiel gibt es zu dem Doppel 79 das Versteckte Tripel 345).

Bewertung: 2, 5, 8, 11 (und theoretisch 14 und 17) Punkte, also 3*N-4 Punkte (N ist die Länge des direktes N-Tupels), für ein Verstecktes M-Tupel gibt es 8, 11 (und theoretisch 14, 17 u.s.w.), also 3*M+2 Punkte - insgesamt zählt aber die kleinere Punktzahl.

PS: Ein 2-Tupel (Doppel) - in der Sudoku-Literatur fälschlicherweise "Paar" geannt - besteht also aus 2 Paaren, ein 3-Tupel (Tripel) aus 3 Paaren oder Trios (Zelle mit 3 Kandidaten), u.s.w..

Einfaches Beispiel mit 2-Tupel (Doppel):

6	79	2		79	1	3479		8	34579	34579
189	4	179		5	3789	6		1379	2	1379
3	1789	5		2789	24789	2479		1479	1479	6
7		8		4
				3		8
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Hier findet man z.B. in der ersten Zeile das 2-Tupel 79 (Doppel: 79, 79), als rot gefärbte Reste markiert - bzw. das Versteckte 3-Tupel 345 (Tripel: 34, 345, 345); die beiden Kandidaten 7 und 9 müssen also an den beiden Stellen des Doppels sein. Also kann man in den anderen Resten dieser Zeile diese beiden Zahlen streichen (wieder durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben). Damit bleibt übrig:

6	79	2		79	1	34[7][9]		8	345[7][9]	345[7][9]
189	4	179		5	3789	6		1379	2	1379
3	1789	5		2789	24789	2479		1479	1479	6
7		8		4
				3		8
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Kurzes Beispiel mit 3-Tupel (Tripel):Hier findet man in der Box OM (und in der 5. Spalte) das 3-Tupel 235 (Tripel: 235, 23, 25). Damit können in allen anderen Resten dieser Box (und in der 5. Spalte) die Kandidaten 2, 3 und 5 gestrichen werden.

	4			[2][3][5]7	235	9			1
	1			6	23	8				5
		3		1[2]4[5]7	25	1[2]4[5]7
					7
					4
...	...	...		...	1	...		...	...	...

Beispiel mit einem Versteckten 3-Tupel (Tripel):Hier findet man in Zeile 1 in den Spalten 1, 2 und 9 das Versteckte 3-Tupel 349 (Tripel: 34789,3489,23689). Damit können in diesen Zellen die zusätzlichen Kandidaten 2, 6, 7 und 8 gestrichen werden. Dazu gehört das 6-Tupel (Sextupel) 125678 (58,5678,167,158,28,268). Da das 6-Tupel 14 Punkte wert ist, das Versteckte 3-Tupel aber 11 Punkte, wird der kleinere Wert 11 als Punktzahl benutzt. Daher sind Versteckte N-Tupel nur bis N = 3 sinnvoll.

34[7][8]9	34[8]9	58		5678	167	158		28	268	[2]3[6][8]9
3578	38	1		2	67	9		4	568	3568
589	6	2		3	58	4		7	1	589
189	2	4		5789	179	158		6	3	78
368	5	7		68	346	238		1	9	248
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Beispiel mit 4-Tupel (Quadrupel):

Relativ häufig (in etwa 10% aller N-Tupel-Fälle) findet man noch 4-Tupel, aber 5-Tupel, 6-Tupel und 7-Tupel sind sowohl noch seltener (1-2 %) als auch schwieriger zu erkennen. Dann kann man aber eventuell leichter ein Verstecktes M-Tupel sehen. Liegt in einer Zeile, Spalte oder Box mit N+M Kandidaten ein N-Tupel vor, so gibt es immer auch ein Verstecktes M-Tupel. So gibt es im obigen Beispiel in der Box OM das (triviale) Versteckte 3-Tupel 147 (in 2357, 12457, 12457). Bei der Bewertung werden aber im Allgemeinen die direkten N-Tupel vorgezogen, da sie einfacher zu erkennen sind.

235689	1	5689		4589	4789	3589		3467	2368	23468
23789	23789	4		189	6	1389		5	238	1238
3568	3568	568		2	147[8]	1[3][5][8]		1[3]4[6]7	368	9
...	...	...		...	...	...		...	...	...

In diesem Beispiel findet man in der 3. Zeile das 4-Tupel 3568 (Quadrupel: 3568, 3568, 568, 368). Damit können in allen anderen Resten dieser Zeile die Kandidaten 3, 5, 6 und 8 gestrichen werden.

Beispiele mit vielen N-Tupeln

3. Goldene Kette (Golden Chain, XY-Chain, Double Implication Chain): Hier betrachtet man alle Zellen mit Paaren, und zwar sucht man jeweils zwei Paare, die in der gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen und genau einen gemeinsamen Kandidaten haben. Eine Goldene Kette ist dann eine zusammenhängende Folge von solchen Paaren, also von der Form ab, bc, cd, ..., xy, yz, za. Wenn die Zahl des ersten Paares, die nicht im zweiten Paar vorkommt (hier also a) mit der Zahl des letzten Paares, die nicht im vorletzten Paar vorkommt (hier also auch a), übereinstimmt, dann kann man alle Kandidaten a streichen, die sowohl von dem ersten als auch dem letzten Paar aus "gesehen" werden, also in der jeweils gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen.

   Eine Goldene Kette der Länge 2 ist identisch mit einem 2-Tupel (Doppel): ab, ba. Goldene Ketten länger als 12 sind sehr selten (weit unter 0.1 %).

   Eine Goldene Kette kann geschlossen sein, wenn jede der betroffenen Zellen als Ausgangspunkt dienen kann - dadurch kann man mehr Kandidaten streichen.

   Eine Erweiterung der Goldenen Kette der Länge 3 ist der XYZ-Wing, bei dem die mittlere Zelle 3 Kandidaten besitzt. Man kann diese Methode auch als ein 3-Tupel (Tripel) mit einem Knick auffassen. Nähere Beschreibung siehe weiter unten.

   Eine Erweiterung des XYZ-Wings ist der WXYZ-Wing, bei dem 4 Zellen insgesamt 4 verschiedene Kandidaten besitzen. Man kann diese Methode auch als ein 4-Tupel (Quadrupel) mit einem Knick auffassen. Nähere Beschreibung ebenso siehe weiter unten.

   Bewertung: 6, 7, 8, 9, usw. bis 17 Punkte, also N+3 Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 3 bis 14; längere Goldene Ketten sind zwar möglich, aber wenig sinnvoll, weil sie extrem selten auch wirkend sein wären). Der XYZ-Wing erhält 7 Punkte (statt 6 bei der 3er-Goldenen Kette); der WXYZ-Wing 10 Punkte (3 Punkte mehr als der XYZ-Wing), aber 11 Punkte, wenn es die erweiterte Form ist.

   Literatur:Download des Artikels von Eduyng Castan: http://www.coverpop.com/sfiles/Sudoku-GoldenChains.pdf (nicht mehr erreichbar)Ähnlicher Artikel von Mihail Iusut: http://www.scanraid.com/sudoku/Remote_Pairs_and_XY_Chains.pdfBeschreibung des WXYZ-Wings von Andrew Stuart: http://www.sudokuwiki.org/WXYZ_Wing

   Beispiel einer Goldenen Kette:

   8	271-A	6		4	9	5		372	23	1
   1[2]	3	124		8	7	6		5	9	24
   5	9	47		23	123	12		8	6	47
   124-E	6	9		237	4	27		133	5	8
   7	1[2]	8		5	23	9		4	13	6
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   Die gefundene Goldene Kette für die Zahl 2 ist: (1:2)27 - (1:7)73 - (4:7)31 - (4:1)12.Beachte, dass hier die Reihenfolge der Zahlen innerhalb eines Doppels dem Verkettungs-Prinzip angepasst ist: Also 73 statt der sonst aufsteigenden Reihenfolge 37 und 31 statt sonst 13. Das jeweilige Ende der Goldenen Kette ist also die Zahl 2, die daher in Zelle (2:1), also Zeile 2 und Spalte 1, und in Zelle (5:2), also Zeile 5 und Spalte 2, gestrichen werden kann.Identisch mit der gefundenen Goldenen Kette ist auch die in umgekehrter Reihenfolge: (4:1)21 - (4:7)13 - (1:7)37 - (1:2)72.

   Beispiel eines XYZ-Wings:

   2892	6	278[9]		291	38	1		3789	5	4
   4	5	893		6	38	7		389	1	2
   1	2789	3		29	4	5		789	6	789
   289	289	289		3	1	6		4	7	5
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   Wenn in der mittleren Zelle ("Knickstelle") des XYZ-Wings (Zeile 1, Spalte 1) die 9 auftritt, kann sie in Zeile 1 und Spalte 3 (in der Box) gestrichen werden. Hat die mittlere Zelle aber den Wert 2, muss die 9 in der ersten Zelle des XYZ-Wings (Zeile 1, Spalte 4) stehen; umgekehrt gilt, wenn die mittlere Zelle den Wert 8 hat, muss die 9 in der dritten Zelle des XYZ-Wings (Zeile 2, Spalte 3) stehen. Auch in diesen beiden Fällen kann die 9 in von allen drei Stellen aus sichtbaren Zellen, hier nur Zeile 1 und Spalte 3, gestrichen werden. Ohne der 9 in Zeile 1 und Spalte 1 hätte man die 3er-Goldene Kette (1:4)92 - (1:1)28 - (2:3)89 mit der gleichen Folge, dass die 9 in Zeile 1 und Spalte 3 gestrichen werden kann.

   Hier sieht man auch, dass diese Methode auch auf 4 (dann WXYZ-Wing genannt) oder mehr Kandidaten ausgeweitet werden kann. Die WXYZ-Methode ist - insbesondere durch die erweiterte Version - 4 Mal häufiger als die XYZ-Methode, bei der die Erweiterung nichts bringt.

   Beispiel eines Standard-WXYZ-Wings, wobei diese aber relativ selten sind (3 % aller WXYZ-Wings):

   561	9	672		45673	4[6]78	3		1	2	468
   1	267	4		267	9	2678		5	36	368
   3	25	8		1	464	25		46	7	9
   7	1	236		9	346	56		2346	8	456
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   Die Kandidaten in der "Knickstelle" sind 4567; wäre 4 richtig, folgt daraus eine 6 in Zeile 3 und Spalte 5; wäre 5 richtig, folgt aber eine 6 in Zeile 1 und Spalte 1; wäre 7 richtig, folgt eine 6 in Zeile 1 und Spalte 3. Und wäre 6 richtig, kann sowieso keine 6 in Zeile 1 und Spalte 5 sein. In allen Fällen ist eine 6 in Zeile 1 und Spalte 5 nicht möglich.

   Beispiel eines erweiterten WXYZ-Wings:

   Die Definition des erweiterten WXYZ-Wings besagt, dass genau einer der 4 Kandidaten des Wings nicht alle Vorkommen dieses Kandidaten im WXYZ-Wing sehen darf, während die anderen 3 Kandidaten sich alle gegenseitig sehen sollen.

   2349	3479	1		5	2379	6		29	38	89
   23689	389	291		1	2392	4		2693	7	5
   2369	3679	5		[3]78	2[3]79	[3]78		4	364	1
   349	349	49		6	8	1		5	2	7
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   Die Kandidaten 2, 6 und 9 sehen sich alle gegenseitig (gleiche Zeile oder gleiche Box), Kandidat 3 liegt aber in verschiedenen Boxen in verschiedenen Zeilen. Damit können alle Kandidaten 3 der anderen Zellen, die von diesen (beiden) Kandidaten 3 aus gesehen werden, gelöscht werden. Bei dieser Variante können oft viele Kandidaten gestrichen werden.

   Beispiele mit vielen Goldenen Ketten/XYZ-Wings/WXYZ-Wings

4. Einzelzahl-Gitter (X-Wing, Swordfish, Jellyfish), Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain, X-Chain Nice Loop) und die ganz neuen Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Erweiterung der einfachen X-Wing-Methode (4 Zellen in den Ecken eines Rechtecks mit einem gemeinsamen Kandidaten, 2*2-Einzelzahl-Gitter) in zwei Richtungen: Ermittlung von 3*3- und 4*4-Einzelzahl-Gittern, und Ausbau auf fast beliebige Formen: Eine Kette aus Resten, bei denen überall ein gemeinsamer Kandidat vorkommt (das verbindendes Element).

   Holger Schrader hat auch die neue Methode der Einzelzahl-Widerspruchs-Kette gefunden. Dabei nimmt man entlang einer Kette an, dass dort eine bestimmte Zahl abwechselnd gesetzt bzw. nicht gesetzt ist und leitet daraus einen Widerspruch ab. Diese Methode ist erstaunlicherweise etwa 10 Mal häufiger einsetzbar als normale Einzelzahl-Ketten; und wegen ihrer Kürze sind sie auch gut zu erkennen.

   Einzelzahl-Kette: Man sieht für eine bestimmte Zahl in den Kandidaten nach, ob in Zeilen oder Spalten oder Boxen diese Zahl genau zwei Mal vorkommt. Hat man mehrere solcher sogenannten starken Verbindungen (strong link) gefunden, lassen sich diese eventuell dadurch so zu einer Einzelzahl-Kette verbinden, dass jeweils ein Anfang oder Ende in der gleichen Zeile, Spalte oder Box wie eine andere starke Verbindung liegen; interessant ist hierbei, dass die anderen Kandidaten der jeweiligen Reste keine Rolle spielen, egal welche und wie viele es sind. Wenn sowohl vom Anfang einer so konstruierten Kette als auch vom Ende dieser Kette ein oder mehrere Felder "gesehen" werden, die also in der jeweils gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen, kann die bestimmte Zahl aus diesen Feldern gestrichen werden. Es gilt: Entweder liegt die bestimmte Zahl am Anfang der Kette; ist das nicht der Fall, gilt folgender Schluss: Liegt diese Zahl nicht im ersten Feld der Kette, muss sie aber im zweiten Feld liegen, da dieses eine starke Verbindung ist; dann kann sie jedoch nicht im dritten Feld sein, muss somit im vierten Feld liegen, usw. - d.h. in jedem 2*K-ten Feld der Kette muss dann die bestimmte Zahl liegen, also auch - wegen der Geradzahligkeit der Kettenglieder - im letzten Feld am Ende der Kette.Eine Einzelzahl-Kette kann geschlossen sein, wenn jede der betroffenen Zellen als Ausgangspunkt dienen kann - dadurch kann man mehr Kandidaten streichen.

   NEU: Einzelzahl-Widerspruchs-Kette: Hier sieht man ebenfalls für eine bestimmte Zahl in den Kandidaten nach, ob in Zeilen oder Spalten oder Boxen diese Zahl genau zwei Mal vorkommt (starke Verbindung) oder auch mehr als zwei Mal vorkommt (schwache Verbindung). Hat man mehrere solcher Fälle gefunden, lassen sich diese eventuell zu einer Kette verbinden. Nach einer schwachen Verbindung muss aber direkt eine starke Verbindung folgen. Dann nimmt man an, dass im ersten Glied und den anderen ungeraden Stellen der Kette die Zahl gesetzt ist, in den anderen aber nicht. Das führt dann oft zu Widersprüchen, etwa dass in einer Zeile, Spalte oder Box keine solche Zahl auftreten kann oder diese Zahl mehr als einmal auftritt, weshalb daher die Zahl in allen ungeraden Kettengliedern gestrichen werden kann. Sind alle Verbindungen stark, ist es eine Kette vom Typ 1, sonst vom Typ 2, der dafür aber auch viel häufiger auftritt. Der Typ 2 bekommt als zusätzliche Information eine Folge von O und X angehägt, wobei das O für eine starke, das X für eine schwache Verbindung steht; Beispiel Typ 2OOXO. Bei Typ 2 können nur die gesetzten Zahlen der Ketten gestrichen werden, die vor dem X-Fall liegen.

   Bei Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten vom Typ 1 ist oft durch Verlängerung der Kette um ein Glied eine (echte) Einzelzahl-Kette möglich - dadurch können mehr Kandidaten gestrichen werden. Dann werden beide Ketten angegeben und die streichbaren Kandidaten aus beiden Ketten angezeigt.

   Häufigkeiten der Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Typ 1 wird zu etwa 3 % gefunden; Typ 2XO ist mit etwa 74 % am häufigsten, etwa 22 % entfallen auf die 5er-Typen 2XOOO, 2XOXO und 2OOXO; die Längen 7 und 9 werden nur zu etwa 2 % gefunden; die Länge 11 ist extrem selten.

   Bewertung Einzelzahl-Gitter: 6, 9, 12, also 3*N Punkte entsprechend der Länge N des gefundenen N*N-Gitters.Bewertung Einzelzahl-Ketten: 7, 9, 11, 13, 15 Punkte, also N+3 Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 4 bis 12, immer geradzahlig).Bewertung Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Ebenfalls 7 bis 15 Punkte, also N+4 Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 3 bis 11)

   Sonderfälle der Einzelzahl-Verfahren: Skyscraper, Turbot Fish, Two-String Kite (Long String Kite und Empty Rectangle sind Erweiterungen), hier aber nicht eingebaut.

   Beispiel eines 2*2-Einzelzahl-Gitters (X-Wing):

   X-Wing ist der Basistyp der Einzelzahl-Gitter- und Einzelzahl-Ketten-Methoden: Ein Rechteck von Zellen, die alle den gleichen Kandidaten haben - entweder alleine in den Zeilen oder alleine in den Spalten. Dann kann der Kandidat in den nicht im Rechteck liegenden Zellen der betroffenen Spalten bzw. Zeilen gelöscht werden, weil in 2 diagonal gegenüberliegenden Zellen des Rechtecks der Kandidat 5 vorkommen muss. Das folgende Beispiel zeigt das Zeilen-Gitter der Zahl 5: 56-56-157-157 (in Zeile 1 und Zeile 5): die Zahl 5 kann daher überall außerhalb dieses Gitters in der Spalte 2 bzw. Spalte 5 gestrichen werden:

   8	56	3		9	56	2		1	4	7
   567	2[5]67	9		56	4	1		8	3	25
   45	24[5]	1		7	3	8		6	9	25
   1457	14[5]7	8		56	2	9		3	167	146
   3	157	6		8	157	4		2	17	9
   2	...	...		...	...	...		...	5	...

   Erweiterung der 2*2-Gitter-Methode X-Wing auf 3*3- bzw. 4*4-Gitter (mehr ist nicht notwendig, da zu einem höheren Gitter auch immer ein entsprechend kleineres gehört - ähnlich wie bei den N-Tupeln). Ein großer Vorteil dieser Gitter liegt darin, dass oft sehr viele Kandidaten gestrichen werden können.

   Beispiel eines 3*3-Einzelzahl-Gitters (Swordfish):

   3457[8]9	34891	479		1249	12469	469		5783	14586	1457[8]9
   4579	49	6		3	149	8		2	145	14579
   489	1	2		5	49	7		3	6	489
   4689	2	3		489	45689	4569		1	7	458
   467[8]9	46892	479		124[8]9	12345679	34569		584	24587	2345
   478	5	1		248	23478	34		6	9	2348
   123469	3469	49		4[8]9	35[8]9	3459		5785	12588	12567[8]
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   In den drei Spalten 2, 7 und 8 ist der Kandidat 8 nur in den drei Zeilen 1, 5 und 7 vorhanden. Daher muss in jeder dieser Zeilen die 8 in einer der erwähnten Spalten vorkommen, kann also aus den anderen Spalten dieser drei Zeilen gestrichen werden. Ohne der 8 in den Zellen Nr. 3 (Zeile 1, Spalte 7) und Nr. 7 (Zeile 5, Spalte 8) hätte man eine (geschlossene) 6er-Einzelzahl-Kette (Nr. 1, 2, 4, 5, 8, 6).

   Beispiel einer Einzelzahl-Kette (Länge 6):

   2389	1	89		7	34	5		6	489	28
   568	568	4		2	9	1		58	7	3
   2359	2359	7		6	34	8		24	459	1
   1	278	3		5	27	9		24	48	6
   2459	2459	59		8	6	3		7	1	29
   2789	2789	6		1	27	4		35	35	289
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   Hier untersucht man z.B. die Zahl 2: Man findet die 2 genau zwei Mal in Zeile 1 (2389-28), in Spalte 5 oder in Box MM (27-27) und in Spalte 7 (24-24), und in Box OR (28-24). Startet man zum Beispiel mit dem Doppel 27-27 in Spalte 5, kann man dieses mit dem zweiten Spaltendoppel (24-24) über Zeile 4 verbinden (die dritte 2 in dieser Zeile stört bei der Verknüpfung von starken Verbindungen nicht). Das Zeilendoppel kann man als letzten Teil der Kette in der rechten oberen Box anschließen (die starke Verbindung 28-24 ist hierbei keine Notwendigkeit) und erhält somit die Kette: (6:5)27 - (4:5)27 - (4:7)24 - (3:7)24 - (1:9)28 - (1:1)2389.Die Kette kann natürlich auch andersherum geschrieben werde: (1:1)2389 - (1:9)28 - (3:7)24 - (4:7)24 - (4:5)27 - (6:5)27.

   Nun gilt: In Zeile 6/Spalte 1 kann die Zahl 2 nicht stehen, denn entweder liegt wegen der gefundenen Kette die 2 in Zeile 6/Spalte 5 (Anfang der Kette) oder in Zeile 1/Spalte 1 (Ende der Kette). D.h.: Ist die 2 in Zeile 6/Spalte 5, ist alles klar; ist die 2 aber nicht in Zeile 6/Spalte 5, muss sie in Zeile 4/Spalte 5 sein (da 27-27 eine sogenannte starke Verbindung ist), kann somit nicht in Zeile 4/Spalte 7 sein, muss also in Zeile 3/Spalte 7 sein (starke Verbindung 24-24), also nicht in Zeile 1/Spalte 9, und muss daher in Zeile 1/Spalte 1 (starke Verbindung 2389-28) sein. Damit erhält man:

   23896-E	1	89		7	34	5		6	489	285
   568	568	4		2	9	1		58	7	3
   2359	2359	7		6	34	8		244	459	1
   1	278	3		5	272	9		243	48	6
   2459	2459	59		8	6	3		7	1	29
   [2]789	2789	6		1	271-A	4		35	35	289
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (Typ 1):

   1	256	7		9	236	8		356	256	4
   9	2568	3		56	4	25		1568	7	128
   25	2568	4		7	1	2353		9	256	2[3]82
   3	7	1269		8	26	4		156	12569	129
   8	2456	126		56	9	2[3]52		134563	12456	7
   245	24569	269		1	2361	7		34568	24569	23891
   ...	...	...		...	...	...		...	...	...

   Hier findet man sogar 12 (!) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten mit der Zahl 3 und der Länge 3: Zum Beispiel: (hier rot markiert) (6:5)3 - (5:6)[3] - (5:7)3 und auch (6:5)3 - (1:5)[3] - (3:6)3. Bei der ersten Kette gibt es in Zeile 1 keine Möglichkeit für eine 3, da in (6:5) und (5:7) eine 3 steht; bei der zweiten Kette kann in Spalte 9 keine 3 stehen. Andere Beispiele sind z.B. auch (5:7)3 - (5:6)[3] - (3:6)3 oder (hier grün markiert) (6:9)3 - (3:9)[3] - (3:6)3 mit dem Widerspruch "Keine Möglichkeit für eine 3 in Box 2#2 (MM)".

   Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (Typ 2XO):

   279	279	8		279	5	6		3	4	1
   5	3	47		47	8	1		9	6	2
   12469	24691	1249		3	29	2[4]92		8	5	7
   8	249	5		249	129	7		6	12	3
   247	1	247		6	3	2453		25	9	8
   3	29	6		8	129	259		125	7	4
   ...	...	...		...	4	...		...	...	...

   Startet man hier in der 3. Zeile und 2. Spalte mit der Zahl 4, kann an keiner anderen Stelle dieser Zeile eine 4 stehen, also auch nicht in Spalte 6. Diese Spalte hat aber eine starke Verbindung, so dass die 4 in Zeile 5 dieser Spalte stehen muss. Damit ist an keiner Stelle der Box 2#1 (ML) eine 4 möglich, was ein Widerspruch zu der Annahme einer 4 in (3:2) ist. Weg: (3:2)4 - (3:6)[4] - (5:6)4. Der umgekehrte Weg wie bei Typ 1 ist hier nicht möglich.

   Beispiele mit vielen Einzelzahl-Gittern/Einzelzahl-Ketten/Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten

5. Ausschluss-Ketten: Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles) und Ausschluss-Ketten bzw. -Schleifen (Unique Loops):
1. Übersicht Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles): Das sind 4 Zellen, die in zwei verschiedenen Zeilen, zwei verschiedenen Spalten und zwei (!) verschiedenen Boxen liegen und in allen diesen Zellen neben anderen Kandidaten zwei gleiche Kandidaten haben. Wegen der eindeutigen Lösbarkeit eines Sudokus kann man dann bestimmte Kandidaten ausschließen; dabei werden (hier) 8 Typen mit einigen Untertypen unterschieden - daher wird hier die eindeutige Lösbarkeit vorausgesetzt und man sollte dann aber am Ende der Rechnung die Eindeutigkeit überprüfen ("Teste Loesbarkeit vom Original aus").

Liegen in 4 Zellen, die in zwei verschiedenen Zeilen, zwei verschiedenen Spalten und zwei verschiedenen Boxen liegen, nur genau 2 Zahlen (je zwei Mal), kann man diese Zahlen in diesen vier Zellen vertauschen und erhält ein zweites Sudoku, das sich nur in diesen Zellen unterscheidet. Ein gutes Sudoku ist daher immer so konstruiert, dass - in diesem Fall - mindestens eine dieser vier Zellen vorgegeben ist, wodurch es eindeutig lösbar wird. Beispiel mit den vertauschbaren Zahlen 6 und 9:

2 6 8 1 9 3 4 5 7 3 9 7 5 6 4 8 1 2 5 4 1 7 2 8 9 3 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2 9 8 1 6 3 4 5 7 3 6 7 5 9 4 8 1 2 5 4 1 7 2 8 9 3 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Das folgende Sudoku hat KEIN Ausschluss-Rechteck: Durch Vertauschen der 6 und 9 in den 4 Boxen entsteht kein Sudoku - das funktioniert nur bei 2 betroffenen Boxen:

9 7 3 6 4 5 1 2 8 5 4 1 7 2 8 9 3 6 2 6 8 1 9 3 4 5 7 3 9 7 5 6 4 8 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

9 7 3 6 4 5 1 2 8 5 4 1 7 2 8 9 3 6 2 9 8 1 6 3 4 5 7 3 6 7 5 9 4 8 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Viele Beispiele mit ausführlichen Erklärungen findet man bei Bernhard Hobigers Webseite http://hodoku.sourceforge.net/de/tech_ur.php (die Typen 7 und 8 heißen dort Hidden Rectangles - Versteckte Rechtecke) und bei Rudi Lars' Webseite http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueRectangle.html (wobei die Typen 7 und 8 dort Unique Rectangle VII [1/6] bis [6/6] genannt werden, Typ 7B wird nicht erwähnt), und auch bei Andrew Stuart's Webseite http://www.sudokuwiki.org/Unique_Rectangles und http://www.sudokuwiki.org/Hidden_Unique_Rectangles (der Typ 4A heißt dort Hidden Typ 2/2b); Stuart hat sogar eine Erweiterung auf ein 2 x 3 Pattern mit Tripeln statt Paaren beschrieben, siehe http://www.sudokuwiki.org/Extended_Unique_Rectangles.

Bewertung (Ausschluss-Rechtecke): 4 Punkte für die einfachen Typen 1, 2 und 5, und 5 Punkte für den einfachen Typ 3A (mit Quasi-2-Tupel - bei Typ 3 allgemein: 5, 8, 11, 14, 17, 20 - je nach der Länge des Quasi-N-Tupels), für die schwierigeren Typen (mit 1 Regel) 4A, 4B und 4C gibt es 3 Punkte mehr (also 7 Punkte), für die komplexeren Typen (mit 2 Regeln) 6, 7A, 7B, 7C, 8A, 8B und 8C gibt es 4 Punkte mehr (also 8 Punkte).

Achtung: Da das Ausdünnen die Eindeutigkeit eines Sudokus erfordert, sollte man diese im Zweifelsfall prüfen - das wird am Ende des Programms automatisch angeboten. Bei mehrdeutigen Sudokus wird eventuell eine angeblich eindeutige Lösung gefunden, obwohl es auch andere Lösungen gibt (es wurden schon über 1000 solcher Fälle gefunden).

Beispiel (dabei auch auf die hier nach dem Sudoku folgende Zeile klicken): Sudoku mit 3 Lösungen, davon zwei gleichartige an den Stellen (3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8): 000000089406009200000630000000000050000004000001720030010000008075000000032070060

Einer der gefundenen Ausdünnschritte ist:Ausschluss-Rechteck Typ 4C für (3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8)14 gefunden: Wegen Kandidat 4 alleine in Spalte 8 ist Kandidat 4 in nicht betrachteter Zelle mit Zusatzkandidaten streichbar

Unter der falschen Annahme, dass das Sudoku eindeutig lösbar ist, werden in einem Ausschluss-Rechteck Kandidaten eliminiert, die aber zu zwei anderen Lösungen gehören mit der Zahl 5 (statt 4) in Zeile 1 und Spalte 4, aber den vertauschbaren Zahlen 1 - 4 - 1 - 4 und 4 - 1 - 4 - 1 im Rechteck 3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8.

Weiteres Beispiel: Das Sudoku hat 127 Lösungen, ist aber mit 4 einfachen Ausschluss-Rechtecken "angeblich" lösbar: 000000003007000009063007000000026800400000000000009200000240010180000040070100060

Es ist schon erstaunlich, dass genau ein Sudoku gelöst wird, aber über 100 andere Lösungen auch noch existieren!

2. Ausführliche Typen-Übersicht, geordnet nach Anzahl der Paare (Abkürzungen: HK = Hauptkandidat, ZK = Zusatzkandidat, Z = Zeile, S = Spalte) mit 8 Haupttypen bzw. 20 (23 bei Schleifen) Untertypen:

Typ	Häufigkeit	ZK	Analyse	Streichbar	Ort
1 Zelle mit 1 bis N ZK bzw. 2 oder mehr Zellen mit identischem ZK
Typ 1	6.4 %	1 bis N	ZK in 1 Zelle	Beide HK	ZK
Typ 2	2.8 %	1 gleicher	in 2 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5A	< 0.01 %	1 gleicher	in 2 Zellen(Paare diagonal)	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5B	0.03 %	1 gleicher	in 3 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5C (ab 6er-Ausschluss-Ketten)	< 0.01 %	1 gleicher	in 4 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5D (ab 8er-Ausschluss-Ketten)	< 0.01 %	1 gleicher	in 5 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5E (ab 10er-Ausschluss-Ketten)	< 0.0001 %	1 gleicher	in 6 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Quasi-N-Tupel
Typ 3A	2.4 %	2	Quasi-2-Tupel	Quasi-2-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3B	0.8 %	2 bis 3	Quasi-3-Tupel	Quasi-3-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3C	0.2 %	2 bis 4	Quasi-4-Tupel	Quasi-4-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3D	0.1 %	2 bis 5	Quasi-5-Tupel	Quasi-5-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3E	0.02 %	2 bis 6	Quasi-6-Tupel	Quasi-6-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3F	< 0.01 %	2 bis 7	Quasi-7-Tupel	Quasi-7-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Mit 1 HK-Regel (Ein HK nur in den beiden AR-Zellen einer Zeile oder Spalte bzw. in allen 4 AR-Zellen)
Typ 4A	22.4 %	1 bis N	HK in HK+ZK-Zellen	Anderer HK	AR-Zelle mit nicht betrachtetem ZK
Typ 4B	4.0 %	1 bis N	HK in ZK+ZK-Zellen	Anderer HK	2 AR-Zellen mit ZK
Typ 4C	7.4 %	1 bis N	HK in HK+ZK-Zellen(Paare diagonal)	HK	AR-Zelle mit nicht betrachtetem ZK
Mit 2 HK-Regeln (Ein HK nur in den beiden AR-Zellen einer Zeile oder Spalte, anderer HK nur in beiden AR-Zellen anderer Zeile oder Spalte)
Typ 6	< 0.8 %	1 bis N	HK in Z/S, HK in Z/S(Paare diagonal)	HK	2 AR-Zellen mit ZK
Typ 7A	19.6 %	1 bis N	HK in Z/S, HK in S/Z	Anderer HK	Zelle gegenüber Paar-Zelle
Typ 7B (NEU)	16.8 %	1 bis N	HK in Z/S, HK in Z/S	Anderer HK	Zelle gegenüber Paar-Zelle
Typ 7C	1.4 %	1 bis N	HK in Z/S, HK in S/Z(Paare diagonal)	Anderer HK	Betrachtete Paar-Zelle
Typ 8A	10.3 %	1 bis N	HK1 in Z/S, HK2 in Z/S	HK	Neben Paar-Zelle liegende Zelle
Typ 8B	4.1 %	1 bis N	HK1 in Z/S, HK2 in S/Z	HK	Nicht betrachtete Zelle
Typ 8C	0.5 %	1 bis N	HK1 in Z/S, HK2 in S/Z	ZK	Zelle gegenüber Paar-Zelle

Die Prozentangaben sind ungefähre Werte aus Rechnungen mit 100000 Sudokus (mit Ausdünnen), von denen in etwa 55 % der Sudokus Ausschluss-Rechtecke gefunden wurden (Option 2001). Die Abarbeitungsreihenfolge ist dabei Typ 1, 2, 5A-B, 3A-3F, 4B, 4A, 6, 7C, 4C, 7B, 7A, 8A, 8B, 8C, so dass alle Typen auch auftreten können. Bei einer anderen Reihenfolge treten insbesondere die Typen 4B, 6, 7B und 7C im nicht-synchronen Fall selten auf.

Bemerkung: Mit Paar-Zelle ist jeweils eine Zelle des Ausschluss-Rechtecks bezeichnet, die nur aus den beiden Hauptkandidaten (die zwei Kandidaten, die in allen 4 Zellen vorkommen) des Ausschluss-Rechtecks besteht.

Bemerkung: Ändert man die Reihenfolge der Ausdünnschritte, kann ein vorher lösbares Sudoku eventuell nicht mehr gelöst werden. Oft helfen dann aber die Quasi-Ausschluss-Rechtecke und -Schleifen, wobei alle Fälle der Ausschluss-Rechtecke und die der 6er-Ausschluss-Schleifen programmiert wurden. Interessanterweise wurde das Phänomen aber nie bei Goldenen und Einzelzahl-Ketten beobachtet (also keine eventuell notwendigen Quasi-Goldenen und Quasi-Einzelzahl-Ketten).

3. Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles):

Typ 1: Ausschluss-Rechteck vom einfachsten und auch sehr häufigen Typ (etwa 6 %): Es gibt drei Zellen mit drei gleichen Paaren, und in der vierten Zelle gibt es zusätzliche Kandidaten, von denen einer gültig sein muss - andernfalls wäre die eindeutige Lösbarkeit nicht gegeben. Beispiel:

7	3	251		246	252	9		68	1	248
1249	19	8		123467	1237	1467		5	2469	249
1249	6	254		8	1[2][5]3	145		7	249	3
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Würde man die Zahl 1 in Zeile 3 und Spalte 5 streichen, hätte man ein Ausschluss-Rechteck: In allen vier betrachteten Zellen gibt es dann nur die Zahlen 2 und 5 als Kandidaten; dann wären prinzipiell zwei Lösungen möglich (2 - 5 - 2 - 5 und 5 - 2 - 5 - 2). Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass ein Sudoku eindeutig lösbar sein muss. Also muss in dieser Zelle die 1 stehen bzw. die Kandidaten 2 und 5 können gestrichen werden (falls mehrere zusätzliche Kandidaten vorliegen).

Typ 2: Ausschluss-Rechteck vom einfachen, jedoch weniger häufigen (außer bei Ausschluss-Schleifen) Typ: Es gibt zwei nicht-diagonale Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es einen zusätzlichen (gleichen) Kandidaten, der wegen der eindeutigen Lösbarkeit in einer der beiden Zellen gültig sein muss - aus den anderen, von diesen beiden Zellen aus sichtbaren Zellen kann dann dieser zusätzliche Kandidat gestrichen werden. Beispiel:

1	29	2359		23467	3567	269		79	[3]478	2[3]89
471	259	6		23457	8	29		1	3472	2[3]9
474	8	239		12347	137	129		5	3473	6
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Würde man die Zahl 3 in Spalte 8 der Zeilen 2 und 3 streichen, hätte man ein Ausschluss-Rechteck: In allen vier betrachteten Zellen gibt es dann nur die Zahlen 4 und 7 als Kandidaten; dann wären prinzipiell zwei Lösungen möglich (4 - 7 - 4 - 7 und 7 - 4 - 7 - 4). Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass ein Sudoku eindeutig lösbar sein muss. Also muss in einer der erwähnten Zellen die Zahl 3 stehen - d.h. alle von diesen beiden Zellen aus sichtbaren Kandidaten 3 können gestrichen werden.

Typ 3A bis 3F: Ausschluss-Rechteck vom relativ einfachen und auch weniger häufigen Typ (insgesamt etwa 4 %): Es gibt zwei Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten, die als Kandidaten einer Zelle aufgefasst werden können. Zusammen mit anderen Kandidaten der entsprechenden Zeile, Spalte oder Box können diese ein Quasi-N-Tupel bilden. 3A steht für ein Ausschluss-Rechteck mit einem Quasi-2-Tupel, usw. bis 3F für eines mit einem Quasi-7-Tupel. Beispiel des sehr einfachen Typs 3A mit einem 2-Tupel, dessen zwei Zahlen direkt ablesbar sind - es muss nur noch eine andere Zelle mit genau diesem Paar gefunden werden:

1237	8	5		17	231	4		6	12372	9
1237	9	137		17	8	6		5	[1]234[7]	[1]4[7]
4	1267	1367		9	234	5		8	12373	17
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Hier liegen in Spalte 8 der Zeilen 1 und 3 die Zusatzkandidaten 1 und 7. Zusammen mit dem Rest 17 in der gleichen Box bilden sie das Quasi-2-Tupel 17. Da einer der Zusatzkandidaten gesetzt sein muss, können die von diesem N-Tupel aus sichtbaren Kandidaten der anderen Zellen somit gestrichen werden.

Typ 4A: Ausschluss-Rechteck vom häufigsten Typ (etwa 22 %): Es gibt wieder zwei Zellen in einer Zeile oder Spalte mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Hier interessieren die Zusatzkandidaten nicht direkt - sie legen nur zwei der vier zu betrachteten Zellen des Ausschluss-Rechtecks fest. Jetzt wird eine Zeile oder Spalte mit beiden Zellen-Typen untersucht: Ist einer der Hauptkandidaten in einer Zeile oder Spalte mit einer Paar-Zelle und einer Zelle mit zusätzlichen Kandidaten nur in diesen beiden Zellen vorhanden, kann der andere Hauptkandidat aus der anderen Zelle mit zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

391	15	8		3492	2	56		356	14	7
394	15	6		[3]4893	89	7		2358	124	459
7	2	4		389	1	56		689	35	59
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Der Hauptkandidat 9 ist in Zeile 1 nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden. Daher muss der andere Hauptkandidat 3 aus der Zelle in Zeile 2 und Spalte 4 gestrichen werden; denn wäre die 3 in dieser Zelle, müsste die 9 in der links davon stehenden Paar-Zelle sein, daher die 3 in der darüber stehenden Paar-Zelle und wegen der obigen Bedingung hätte die Zelle in Zeile 1 und Spalte 4 eine 9, was zu der nicht erlaubten Möglichkeit zweier Sudokus (mit 3 - 9 - 3 - 9 und damit auch 9 - 3 - 9 - 3) führen würde.

Typ 4B: Ausschluss-Rechteck ähnlich 4A, aber nicht so häufigem Typ (dafür können aber immer 2 Kandidaten gestrichen werden): Es gibt zwei Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Ist einer der Hauptkandidaten in einer Zeile, Spalte oder Box nur in diesen beiden Zellen vorhanden (also rechtwinklig zum Typ 4A), kann der andere Kandidat aus diesen Zellen mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden. Beispiel für Typ 4B:

23689	1	689		4589	79	3589		367	2368	48
237[8]91	237[8]92	4		89	6	389		5	238	1
3568	3568	568		2	47	1		47	368	9
784	783	3		569	1	569		2	4	56
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Einer der beiden Hauptkandidaten dieser Zellen mit den Zusatzkandidaten, hier die 7, ist in Zeile 2 aber nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden. Daher muss dieser Kandidat an einer der beiden Stellen auftreten - damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss der andere Hauptkandidat, hier die 8, aus diesen Zellen (mit den Zusatzkandidaten) gestrichen werden.

Typ 4C: Ausschluss-Rechteck vom recht häufigen Typ (7.5 %): Es gibt zwei diagonal gegenüberliegende Zellen mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen beiden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Ist einer der beiden Kandidaten nur in einer Zelle ohne zusätzliche Kandidaten und einer daneben bzw. darunter liegenden Zelle mit zusätzlichen Kandidaten vorhanden, so kann er aus der nicht betrachteten Zelle mit den zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

2	4581	3		1	482	7		46	56	9
7	484	9		5	34[8]3	6		1	248	2348
148	6	15		2	348	9		345	7	348
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Die Zahl 8 kommt in Zeile 1 (mit einer Paar-Zelle und eine Zelle mit zusätzlichen Kandidaten) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Dieser Kandidat muss also aus der anderen Zelle mit zusätzlichen Kandidaten in Zeile 2 und Spalte 5 gestrichen werden. Denn wenn die Zahl 8 dort wäre, müsste in der Zelle darüber die 4 stehen und damit in Zeile 1 und Spalte 2 die 8 und in der Zelle darunter die 4; dies widerspricht der Eindeutigkeit eines Sudokus.

Typ 5A bis 5B bzw. 5E: Ausschluss-Rechteck vom seltenen (außer bei Ausschluss-Schleifen) und dem Typ 2 sehr ähnlichen Typ, der aber unterschieden wird: Liegen sich die beiden Zellen mit den Zusatzkandidaten diagonal gegenüber, gilt die gleiche Folgerung: Aus allen Zellen, die von den beiden Zellen mit dem Zusatzkandidaten gesehen werden können, kann dieser gestrichen werden: das ist der Typ 5A der Ausschluss-Rechtecke, der bei den 138000 gerechneten Sudokus mit Ausdünnung in nur einem einzigen Fall und bei den Quasi-Ausschluss-Rechtecken dort nur 12 Mal gefunden wurde. Nur wenig häufiger ist der Typ 5B, bei dem drei Zellen den gleichen Zusatzkandidaten haben; hier kann der Zusatzkandidat aus allen Zellen gestrichen werden, die von diesen drei Zellen aus gesehen werden. Bei Ausschluss-Schleifen gibt es noch den Typ 5C, wenn vier Zellen den gleichen Zusatzkandidaten haben, ab den 10er-Ausschluss-Schleifen auch die Typen 5D und 5E, wenn fünf bzw. sechs Zellen den gleichen Zusatzkandidaten haben. Beispiel für Typ 5B:

2	1341	8		9	142	5		6	134	7
6	7	5		123	1348	1238		14	9	13
[3]9	1344	49		6	1343	7		2	5	8
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Die Zahl 3 kommt nur in drei Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss eine dieser Zellen die Zusatzzahl 3 enthalten. Daher kann man die Zahl 3 aus allen Zellen, hier der einen Zelle in Zeile 3 und Spalte 1, streichen.

Typ 6: Ausschluss-Rechteck vom sehr seltenen Typ (außer bei Quasi-Ausschluss-Rechtecken und Ausschluss-Schleifen), der ähnlich dem Typ 4C ist: Es gibt zwei diagonal gegenüber liegende Zellen mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen beiden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Ist ein Hauptkandidat nur in den 4 Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, kann dieser (im Gegensatz zu Typ 4 also nicht der andere Hauptkandidat) aus den Zellen mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden. Typ 6 entspricht dem Typ 4C zwei Mal angewendet. Tritt meistens nur in den Alternativ-Fällen ("ODER" bzw. "neben") auf. Beispiel:

25	3	571		6	15[7]2	125		8	9	4
6	9	1		8	3	4		257	257	27
458	245	5[7]84		9	573	25		6	3	1
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Die Zahl 7 kommt nur in den 4 Zellen des Ausschluss-Rechtecks (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss die 7 in den Zellen mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden. Denn wäre die 7 an diesen Stellen gesetzt, müsste in den Paar-Zellen die Zahl 5 stehen; das wäre aber eine Situation 5 - 7 - 5 - 7 oder 7 - 5 - 7 - 5, was zu einem nicht-eindeutigen Sudoku führen würde.

Typ 7A: Ausschluss-Rechteck vom zweit-häufigsten Typ (20 %): Es gibt eine Zelle mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten (dieser Typ hat zwar nur eine Paar-Zelle wie die Typen 8, gehört aber auf Grund aller anderen Eigenschaften zu den Typen 7). Man betrachtet nun die Zeile und die Spalte durch die Zelle, die der Paar-Zelle diagonal gegenüber liegt: Taucht einer der Kandidaten in dieser Zeile und Spalte nur in den zum Ausschluss-Rechteck gehörenden Zellen auf, kann der andere Kandidat in der der Paar-Zelle gegenüber liegenden Zelle gestrichen werden. Beispiel:

28	4	291		2892	1	5		7	6	3
3	1	6		89	4	7		2	89	5
7	589	2594		28[9]3	6	3		1	4	89
56	56	1		4	7	89		3	2	89
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Man betrachtet die Zeilen 1 und 3 und die Spalten 3 und 4: Die Paar-Zelle hat die Kandidaten 29; die diagonal gegenüber liegende Zelle in Zeile 3 und Spalte 4 hat die Kandidaten 289; die Zahl 2 kommt in Zeile 3 und auch in Spalte 4 (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) nur in dem Ausschluss-Rechteck vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss der andere Hauptkandidat, also die 9, dort (in Zeile 3 und Spalte 4) gestrichen werden.

Typ 7B (NEU): Ausschluss-Rechteck vom sehr häufigen Typ (etwa 17 %): Es gibt eine Zelle mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten (dieser Typ hat zwar nur eine Paar-Zelle wie die Typen 8, gehört aber auf Grund aller anderen Eigenschaften zu den Typen 7). Ist ein Hauptkandidat nur in den 4 Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, kann der andere Kandidat in der der Paar-Zelle diagonal gegenüber liegenden Zelle gestrichen werden. Beispiel:

5781	6	582		347	2347	237		1	35	9
2	3	9		1	5	6		8	7	4
57	1	4		379	78	3789		36	356	2
1[5]84	25	2583		6	9	4		7	123	13
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Die Paar-Zelle hat die Kandidaten 58; die diagonal gegenüber liegende Zelle in Zeile 4 und Spalte 1 hat die Kandidaten 158; die Zahl 8 kommt aber in Zeile 1 und auch in Zeile 4 nur in dem Ausschluss-Rechteck vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss der andere Hauptkandidat, hier die 5, dort (also in Zeile 4 und Spalte 1) gestrichen werden.

Der Typ 7B ist dem Typ 7A sehr ähnlich, aber die Bedingungen sind unterschiedlich: Bei Typ 7A werden eine Zeile und eine Spalte untersucht, bei Typ 7B jeweils zwei Zeilen bzw. zwei Spalten.

Typ 7C: Ausschluss-Rechteck vom weniger häufigen Typ: Es gibt zwei diagonal gegenüberliegende Zellen mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen beiden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Man betrachtet nun die Zeile und die Spalte durch eine der beiden Paar-Zellen: Taucht einer der Kandidaten in dieser Zeile und Spalte nur in den zum Ausschluss-Rechteck gehörenden Zellen auf, kann der andere Kandidat in dieser Paar-Zelle gestrichen werden. Beispiel:

5	24	8		6	19	249		12	7	3
1	6	24		3	7	2451		[2]52	8	9
9	3	7		15	8	254		1253	6	4
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Die Zahl 5 kommt in Zeile 2 und in Spalte 7 (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der andere Hauptkandidat 2 muss aus dieser Zelle in Zeile 2 und Spalte 7 gestrichen werden. Denn wenn die Zahl 2 in dieser Zelle wäre, müsste in den Zellen mit Zusatzzahl die Zahl 5 stehen; dann wäre aber in der anderen Paar-Zelle die Zahl 2 und damit hätte man ein zweideutiges Sudoku mit den beiden Lösungen 2 - 5 - 2 - 5 und 5 - 2 - 5 - 2.

Der Typ 7C entspricht im Prinzip dem Typ 7A, bei dem das gleiche Ergebnis erreicht wird, wobei bei Typ 7C aber gleich eine Paar-Zelle eindeutig besetzt werden kann.

Typ 8A: Ausschluss-Rechteck vom recht häufigen Typ (etwa 10 %): Es gibt nur eine Paar-Zelle, in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Es werden jeweils zwei Zeilen bzw. zwei Spalten betrachtet. Ist ein Hauptkandidat in einer Zeile bzw. Spalte nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, und ist der andere Hauptkandidat in der anderen Zeile bzw. Spalte auch nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, so kann der Hauptkandidat, der in der Zeile bzw. Spalte mit der Paar-Zelle betroffen war, aus der darunter/darüber bzw. rechts/links daneben liegenden Zelle mit den zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

8	4	6		2	1	7		9	5	3
25	25	9		346	3468	38		48	1	7
1	3	7		451	4582	9		248	26	46
6	9	2		34[5]4	3453	1		7	38	58
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Die Zahl 5 kommt in Zeile 3 nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor, die Zahl 4 kommt in Zeile 4 nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der Hauptkandidat 5, der in der Zeile mit der Paar-Zelle ist, muss aus der Zelle unterhalb der Paar-Zelle in Zeile 4 und Spalte 4 gestrichen werden. Die Argumentation ist ähnlich denen der vorhergehenden Beispiele.

Die Typen 8A bis 8C haben die Besonderheit, dass dazu beide Hauptkandidaten in bestimmten Zeilen und Spalten untersucht werden, ob sie nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks auftreten. Daher werden sie hier von den Typen 7A bis 7C unterschieden, bei denen nur ein Hauptkandidat betrachtet wird.

Typ 8B: Ausschluss-Rechteck vom weniger häufigen Typ (4.1 %): Es gibt nur eine Paar-Zelle mit den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Betrachtet man eine Zeile bzw. Spalte, in der die Paar-Zelle vorkommt, und kommt einer der Hauptkandidaten nur in diesen beiden Zellen vor und der andere Hauptkandidat nur in der Spalte bzw. Zeile, die die gerade betrachtete Zelle mit Zusatzkandidaten enthält, so kann der erste Hauptkandidat aus der nicht betrachteten Zelle mit den zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

8	1461	67		157	3	9		14572	157	2
47	144	9		2	457	8		[1]4573	6	3
2	5	3		17	47	6		147	9	8
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Die Zahl 1 kommt in Spalte 2 (mit einer Paar-Zelle und einer Zelle mit zusätzlichen Kandidaten) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor (Sudoku hier nicht ganz dargestellt). Der zweite Hauptkandidat 4 kommt in der Zeile 1 nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der erste Hauptkandidat 1 muss also aus der dritten Zelle mit zusätzlichen Kandidaten in Zeile 2 und Spalte 7 gestrichen werden. Denn hätte diese Zelle den Wert 1, wäre in der Paar-Zelle eine 4 und damit in der darüber liegenden Zelle eine 1 und daher auch in der Zelle in Zeile 1 und Spalte 7 eine 4; das ergäbe aber prinzipiell zwei Lösungen 1 - 4 - 1 - 4 und 4 - 1 - 4 - 1 vor, was nicht sein darf.

Typ 8C: Ausschluss-Rechteck vom weniger häufigen Typ: Es gibt nur eine Paar-Zelle mit den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Man betrachtet die Zeilen und Spalten, in denen die Paar-Zelle nicht vorkommt: Kommt in einer Zeile bzw. Spalte einer der Hauptkandidaten nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor und der andere Hauptkandidat analog nur in der entsprechenden Spalte bzw. Zeile, so können die Zusatzkandidaten (!) der der Paar-Zelle gegenüberliegenden Zelle gestrichen werden. Beispiel:

3	7	8		45	9	2[4]61		1262	1245	15
156	1456	125		3	7	2464		263	9	8
69	46	29		458	568	1		236	2345	7
...	...	...		...	...	...		...	...	...

Der eine Hauptkandidat 6 kommt in Zeile 1 (Zeile ohne Paar-Zelle) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der zweite Hauptkandidat 2 kommt in der Spalte 6 (Spalte ohne Paar-Zelle) nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor (Sudoku hier nicht ganz dargestellt). Der Zusatzkandidat 4 in der Zelle in Zeile 1 und Spalte 6 muss gestrichen werden; denn wäre er dort, so müsste in der Zelle darunter (Zeile 2 und Spalte 6) die 2 stehen, in der Zelle in Zeile 1 und Spalte 7 die 6. Das geht aber nicht, weil dann in der Paar-Zelle kein Kandidat möglich ist. Interessanterweise geht der Beweis nicht über die Vermeidung von zwei Lösungen, sondern über einen Widerspruch bei der möglichen Setzung; insofern muss man den Typ 8C eigentlich als Pseudo-Ausschluss-Rechteck auffassen. Das Ergebnis dieser Streichungen führt aber direkt zu einem Ausschluss-Rechteck vom Typ 4C!

Bei den 136000 gerechneten Sudokus traten bei der voll-synchronen Rechnung direkte Ausschluss-Rechtecke insgesamt fast 280000 Mal auf, Quasi-Ausschluss-Rechtecke etwa 18500 Mal; die 6er-Ausschluss-Ketten inklusive der 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten wurden etwa 7600 Mal gefunden, die 8er-Ausschluss-Ketten 680 Mal, 10er-Ausschluss-Ketten etwa 30 Mal.

Das Konzept der Quasi-Ausschluss-Rechtecke wird hier eingeführt: Dies sind unvollständige Ausschluss-Rechtecke, z.B. wenn schon einige Zellen eindeutig besetzt wurden (dann Vermeidbare Ausschluss-Rechtecke genannt) oder (viel allgemeiner) einige Kandidaten in einer Zelle oder mehreren Zellen schon fehlen (dann Ausschluss-Rechtecke mit fehlenden Kandidaten genannt); diese wurden dann im Allgemeinen in einem vorhergehenden (oft einfacheren) Ausdünnschritt eliminiert und können aber wieder (vorübergehend) eingesetzt werden, um ein Ausschluss-Verfahren zu ermöglichen (bei einer anderen Reihenfolge der Ausdünnschritte hätte man möglicherweise ein echtes Ausschluss-Rechteck gefunden). Man untersucht dazu die beiden Diagonalen in einem möglichen (Quasi-)Ausschluss-Rechteck: Ist in einer Diagonale eine Zahl bzw. ein Kandidat in beiden Zellen vorhanden, kann man diese Zahl wieder (vorübergehend) in die anderen beiden Kandidatenlisten eintragen. Relativ leicht erkennbar sind Quasi-Ausschluss-Rechtecke, wenn nur eine Zahl zusätzlich eingetragen werden muss. Sind zwei zusätzliche Zahlen einzutragen, sind diese oft das gemeinsame Paar des Ausschluss-Rechtecks.

In etwa 1 % aller gerechneten Ausdünn-Sudokus wurden Quasi-Ausschluss-Rechtecke gefunden, meistens die Typen 1, 4B und 4C.

Bewertung: 3, 5, 7, 9 Punkte mehr, also 1 + 2 * N (N = 1 bis 4 zusätzlich eingesetzte Zahlen) Punkte mehr als bei dem entsprechenden Typ des Ausschluss-Rechtecks.

Beispiel eines Quasi-Ausschluss-Rechtecks:Man betrachte die Zeilen 2 und 3 und die Spalten 3 und 7 mit den Kandidatenlisten 17, 15, 13 und der schon gefundenen Zahl 5:

Man sieht, dass die 1 in der Diagonale von links-oben nach rechts-unten in beiden Kandidatenlisten (17, 13) vorkommt und somit in den Zellen der anderen Diagonale hinzugefügt werden kann - hier an der Stelle der schon gefundenen, also nicht originalen (!) Zahl 5 in Zeile 3 und Spalte 3 (was die Pseudo-Kandidatenliste 15 ergibt) - und dass die 5 in der Diagonale von rechts-oben nach links-unten in beiden Kandidatenlisten (15) bzw. Pseudo-Kandidatenlisten (5) vorkommt und somit den Zellen der ersten Diagonale hinzugefügt werden kann (was die Pseudo-Kandidatenlisten 157 und 135 ergibt). Daraus wird dann ein Ausschluss-Rechteck mit 15 als gemeinsamem Kandidatenpaar, wobei die vorübergehend hinzugefügten Kandidaten in runde Klammern gesetzt werden:

Da nun der Kandidat 1 nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks in Zeile 2 und Spalte 7 (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) liegt, kann - nach Typ 7C - der Kandidat 5 in der Zelle in Zeile 2 und Spalte 7 im Ausschluss-Rechteck gestrichen werden. Danach werden die vorübergehend eingesetzten Zusatzkandidaten wieder entfernt.

Für die Quasi-Ausschluss-Rechtecke gibt es die gleichen 8 Basis-Typen wie bei den normalen Ausschluss-Rechtecken. Ähnliche Anteil-Verhältnisse wie bei den Ausschluss-Rechtecken gelten auch bei den Quasi-Ausschluss-Rechtecke.

Die Erweiterung der Ausschluss-Rechtecke sind Ausschluss-Ketten (Ausschluss-Schleifen): Ausschluss-Ketten sind 2*N Zellen, die in N verschiedenen Zeilen, N verschiedenen Spalten und N (!) verschiedenen Boxen liegen und in allen diesen Zellen neben anderen Kandidaten zwei gleiche Kandidaten haben (siehe z.B. http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueLoop.html). Hier wurden alle Versionen mit 6, 8 und 10 Zellen programmiert; 12er-, 14er-, 16er- und 18er-Ausschluss-Ketten werden nicht mehr berechnet, sind aber möglich.

In etwa 0.25 % aller gerechneten Ausdünn-Sudokus wurden 6er-Ausschluss-Ketten gefunden, meistens die Typen 1, 4 und 5.

Bewertung: Bei den 6er-Ausschluss-Ketten gibt es jeweils 3 Punkte mehr als bei entsprechenden Typen der Ausschluss-Rechtecke; bei 8er-Ausschluss-Ketten gibt es jeweils 6 Punkte mehr, bei 10er-Ausschluss-Ketten gibt es jeweils 9 Punkte mehr, usw.

Ausschluss-Ketten sind also empfindlich gegenüber der Reihenfolge der Ausdünnschritte. Aber prinzipiell kann es wohl auch vorkommen, dass eine Goldene oder Einzelzahl-Kette durch vorhergehende Ausdünnschritte zerstört wird.

Analog den Quasi-Ausschluss-Rechtecken gibt es auch Quasi-Ausschluss-Ketten. Hier wurden nur die 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten programmiert.

Bewertung: 3, 5, 7, 9, 11, 13 Punkte mehr, also 1 + 2 * N (N = 1 bis 6 zusätzlich eingesetzte Zahlen) Punkte mehr als bei dem entsprechenden Typ der 6er-Ausschluss-Kette. Das bedeutet theoretisch eine maximale Punktzahl von 36 (mehr als 31 Punkte wurden aber noch nicht beobachtet)

In etwa 1300 Sudokus wurden 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten gefunden.

In etwa 400 Sudokus wurden 8er-Ausschluss-Ketten gefunden.

Da 8er-Ausschluss-Ketten schon recht selten sind, treten 10er-Ketten in der Praxis noch seltener und nur mit wenigen Typen auf. 14er- und längere Ketten werden nicht mehr berechnet.

In 12er-Ausschluss-Ketten wurde bisher nur Typ 5 gefunden.